Ebook7
144
2x + 10 = (x + l)2 -f 9. Zatem x + 2
/
=!
(x2 + 2x + 10)3
+ 2
+ l)2+9)3
dx
Niech
■xdx =
|
3(31 + 1) |
-3 f |
[( 3t |
|
(9<2 + 9)3 |
“93 [J |
\(^2 + l)3 |
|
f tdt |
f dt | |
|
J (<2 + l)3 |
^ 243 J f tdt |
(<2 + 1 )3 |
|
h = |
i (<2 +l)3’ h y | |
I
(<2 + l)3‘
x + 1 = 3<
dx — 3 dt
t —
dt
Mamy
/1
tdt
t2 + 1 = 2
(<2 + l)3 1
2<d< = ć/z 1
tdt = ^dz
4z2+C 4(i2 + l)2+a
z 3ciz =
W celu obliczenia całki I2 korzystamy ze wzoru (5.10)
I
(<2 + l)2 4(<2 + l)2'
Całkę f obliczamy, korzystając ponownie ze wzoru (5.10)
f dt _ 1 f
./ (<2 + l)2 “2 J
dt t 1
+ z, .o = -arctg< +
Zatem
3
h garctgt + 8^2 -(- X) 1 4(<2 + 1)2
2(<2 + 1) + C.
Ostatecznie mamy
h
x + 2
clx = J- | —
1
i
(x2 + 2x + 10)3 81 V 4(<2 + l)2
1 T 3 3< <
243 8
-arctg< +
!
8(<2 + 1) 4(<2 + 1)2
Po wstawieniu t = Ł^-1- i po przekształceniach otrzymujemy f x + 2 , x + 1 x — 8
J (x2 + 2x + 10)3 216(a;2 + 2x + 10) 36(x2 + 2x + 10)2
1 x + l
+ 648arCtg— + C'
Teraz przedstawimy algorytm rozkładania funkcji wymierny* I..... wielo
mian i ułamki proste.
Niech f(x) = , gdzie Wn(x), Gm(:r) są wielomianami odpowiednio
stopnia n,m o współczynnikacli rzeczywistych. Przy rozkładaniu lun In |i f(x) na wielomian i sumę ułamków prostych stosujemy następujące za:udy
1. Jeżeli n ^ m, to dzielimy wielomian Wn(x) przez wielomian Gm(x),
Następnie przedstawiamy funkcję f(x) = w postaci sumy uzyskanego
z dzielenia wielomianu oraz funkcji wymiernej , gdzie stopień wielomia nu Pk{x) jest mniejszy niż stopień wielomianu Gm(x). Funkcję wymienią
rozkładamy na sumę ułamków prostych według punktu 2.
2. Jeżeli n < m i funkcja f(x) = ^ nie jest ułamkiem prostym, to
a) przedstawiamy Gm(x) jako iloczyn tzw. czynników nierozkładalnyeli, czyli czynników stopnia 1 oraz czynników kwadratowycłi nierozkładal nych,
b) przewidujemy postać rozkładu na sumę ułamków prostych,
rodzaj tych ułamków prostych zależy od czynników w mianowniku:
bl) dla każdego czynnika postaci (kx + l)n przewidujemy ułamki proste pierwszego rodzaju tzn. ułamki postaci
A\ A2 An
kx + 1' (kx +1)2’ }(kx + l)n' gdzie A\, Aj,..., An to pewne stałe,
1)2) dla każdego czynnika postaci (ax2 + bx + c)n, gdzie A < 0, przewidujemy ułamki proste drugiego rodzaju tzn. ułamki pos taci
B\x + Ci Bjx + C2 Bnx + Gfi
ax2 + bx + c (ax2 + bx -ł- c)2 ’ ’ (ax2 + bx + c)n ’
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Ebook2 154 Rozdział 5. Rachunek całkowy c) Obliczamy pochodną funkcji /(x) = x1 4- 4x 4- 3, mamy f
Ebook5 160 Rozdział 5. Rachunek całkowy b) Mamy j ^^-dx = jx-l + x*)hd Zatem m = —2, n = 3, p = i.
Ebook5 140 Rozdziału. Rachunek całkowy b) / are 1 dx -x2 = t —2 xdx = dt xdx = —dt /(t) = t g
Ebook2 134 Rozdział 5. Rachunek całkowy Twierdzenie 5.2. Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale
Ebook3 130 Rozdział 5. Rachunek całkowiy wyprowadzić następujące wzory: f (x)dx / /(i) J7M = 2^) +
Ebook6 142 mi 5. Rachunek całkowy 5.3 Całkowanie funkcji wymiernych Przy całkowaniu funkcji wymiern
Ebook8 146 Rozdział 5. Rachunek całkowy gdzie B, B2,..., Bn, C, C2, ■ •., Cn to pewne stałe, które
Ebook0 150 Rozdział 5. Rachunek całkowy Niech 11 = J ■ Ponieważ A < 0, więc pr
Ebook4 158 tał 5. Rachunek całkowy Ponieważ VxCr x + Jx2 4- 1 > 0, więc I — h + ln (x + yjx2 + 1
Ebook9 168 Rozdział 5. Rachunek całkowij ,r> Zadania Zad.l. Obliczyć całki:a)
Ebook 0 170 Rozdńał 5. Rachunek całkowy f) f /800~^~20x^x2dx1 h) ! i)
170 X. Zastosowania rachunku całkowego Zatem w kole odcinki PM i OP przedstawiają sinus i cosinus ko
180 X. Zastosowania rachunku całkowego Rzeczywiście, x = a (f—sin t), dx = a (1 —cos t) dt, zatem 2H
Ebook6 122 Rozdział A. Rachunek różu/< howy i /ego zastosowania Zatem prosta x — 0 jest asymptot
Ebook0 130 Rozdział 4. Rachunek różniczkowy i jego zastosowaniu4.10 Odpowiedzi do zadań Zad.] c) y
Ebook4 138 Rozd ml 5. Rachunek całkowi/ PRZYKŁAD 3. Stosując odpowiednie podstawienia, obliczyć cał
Ebook6 162 Ro d (oi 1 Rachunek całkowy Jeżeli n jest nieparzyste, n ^ 3, to całkę f sinn xdx można
Ebook7 104 Ho <1 ml 5. Rachunek całkowy Przy podstawieniu tg f = t wykorzystujemy wzory21 sin x
Ebook8 l(i() Rozdział 5. Rachunek całkowy Całkę /i obliczymy, stosując podstawienie tg
więcej podobnych podstron