Ebook3
I 00 llozd Hit liactiunrk caUcowii
Całki typu J R(x, Vax2 + bx + c), gdzie a / 0 i b2 — 4ac 0, możim
sprowadzić do całek wymiernych, stosując jedno z podstawień Eulera.
Podstawienia Eulera
1. Gdy a > 0, to podstawiamy \/ax2 + bx + c = t ± y/ax.
2. Gdy c > 0, to podstawiamy \/ax2 + bx + c = xt ± y/c.
3. Gdy b2 — 4ac > 0, to podstawiamy \/ax2 + bx + c = t{x — x\), gdzie ./1 jest jednym z pierwiastków trójmianu ax2 + bx + c.
Ponieważ podstawienia Eulera prowadzą często do złożonych rachunków, więc stosujemy je przeważnie wtedy, gdy nie można zastosować inny li metod.
PRZYKŁAD 14. Obliczyć całkę / / 2 dx
V t4It Io X
ROZWIĄZANIE.
Zastosujemy pierwsze podstawienie Eulera
\/x2 + 4x -f 13 x2 + 4x + 13
x +1
x2 4- 2tx -f t2.
Stąd mamy
x(4 - 21)
x
t2 - 13 t2 - 13 4-21‘
Dalej otrzymujemy
dx
dx
2t{4 - 2t) + 2{t2 - 13) (4 - 21)2 2(—ł2 + 4t — 13)
dt
(4 - 21)2
dt.
Po dokonaniu podstawień w całce mamy
dx
\Jx'2 + 4x + 13 — x
-t2 + 4t- 13 1 f
t( 4 - 21)2 ~2j
-t2 + 4t-13
t(2 - t)2
dt
Rozkładamy funkcję podcałkową na ułamki proste. Mamy
-t2 + At - 13 _ A B C
t{2 — t)2 “ 1 + 2 - t + (2 - t)2'
Wykorzystując metody przedstawione w rozdziale 5.3, otrzymujemy A = , B = -\,C = -|. Zatem
dx
\Jx2 -f 4x + 13 — x
9 j =
2(2-t)V
_ 2(2 - i))
Po wstawieniu t = \fx2 -H 4x + 13 — x do uzyskanego wyniku mamy dx 13
y/x2 + 4x + 13 — x
8
ln |\/a:2 + 4x + 13 — x| +
+ - ln |2 — \/^2 + 4x + 13 + x| -
4(2 — yjx2 + 4x + 13 + x)
+ C.
Definicja 5.3. Całkami stowarzyszonymi nazywamy takie całki, dla których obliczanie jednej wiąże się z obliczaniem drugiej.
PRZYKŁAD 15. Obliczyć całki stowarzyszone
h = J \/x*Tidx,
ROZWIĄZANIE.
Obliczamy całkę I\. Mamy
I\ — f \J x2 + 1 dx = [ X. dx =
J i Vx2 + 1
/x2dx [dx_ f dx
\Jx2 4- 1 J \Jx2 + 1 J \/x2 + 1
Na podstawie wzoru (5.13) otrzymujemy
Jl = /2 + ln |x + a/x2 + 1|.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Ebook5 GO llozd ml 2. Ciągi liczbowe l>) Przekształcamy wyraz ogólny ciągu i otrzymujemy GO lloz
30267 MATEMATYKA117 mm 224 IV Całka nieoznaczona4. CAŁKOWANIE PEWNYCH FUNKCJI NIEWYMIERNYCH CAŁKI TY
Zdjęcie 0038 • Normy typu B - tematyczne normy bezpieczeństwa B2 • &nb
caleczki Zadania do rozwiązania i. Obliczyć całki potrójne: a) /// x2y2z dxdydz, gdzie:
79053 Zdjęcie 0038 • Normy typu B - tematyczne normy bezpieczeństwa B2 • &nb
ŁAD W BEZŁADZIE 65 1) krzemianowo-litowcowe typu R20-Si02, gdzie: R = Li, Na, K, R
Ebook2 32 Rozdział 1. Przegląd funkcji elementarnych ROZWIĄZANIE. a) Mamy znaleźć y = aresin ( - 5)
Ebook8 146 Rozdział 5. Rachunek całkowy gdzie B, B2,..., Bn, C, C2, ■ •., Cn to pewne stałe, które
Analiza 2id 534 5. Obliczyć całki podwójne: a. JJ x3y2dxdy, gdzi
skanuj0273 (3) Rozdział 10. ♦ Podstawy SQL 287 ♦ dla typu TIME — 00:00:00, ♦
Całki niewłaściwe (2) Całki niewłaściwe. 1) Obliczyć całki (o ile są zbieżne): 00
DSC00303 (20) Współczesne połączenia balkonów ze stropem bez mostków termicznych ŁĄCZNIKI BALKONOWE
0929DRUK000017 64 52 ROZDZIAŁ "I, UST. 13. SZEREGI I CAŁKI że zaś CO O 00 [e ~ x* dx = fe
33192 P151009 41[01] fot.1. Mottaź llil
więcej podobnych podstron