Image0107 BMP
1.2. Metoda rozdzielenia zmiennych .2.1. Określenia i zależności podstawowe
Przedmiotem dalszych rozważań będą równania różniczkowe cząstkowe, w których siennymi niezależnymi są wyłącznie współrzędne punktu pola. Przykładami takich wnań są równania: Laplace'a, Poissena i Hclmholtza.
Przy stosowaniu me lody rozdzielenia zmiennych, zwaną również metodą Fouriera, zed stawia się rozwiązanie równania różniczkowego cząstkowego w postaci wielokrot-go szeregu nieskończonego
OCJ
u (x, y, z) = Y. An«,t *»(*) yjy)Zj(z) ■
yrazy X„(x) >„0') 7.k(z) tego szeregu spełniają dane równanie różniczkowe cząstkowe lazywają się funkcjami własnymi, natomiast A„„Ik jest stalą. W przypadku zagadnienia mwymiarowego funkcje it przedstawia się v. postaci szeregu podwójnego
(M.4)
Ciąg funkcyjny którego elementy A',,(x) są całkowalne z kwadratem w prze-
lale (a, b), jest ciągiem ortogonalnym w tym przedziale, jeżeli zie /4>0 jest wielkością stalą. Ciąg funkcyjny ,Y„(v) jest ciągiem ortogonalnym unor-iwanym, gdy A= I w wyrażeniu (11.5).
Normą ciągu funkcyjnego nazywamy wyrażenie
(11.6)
f X2B(x)dx.
Przypuśćmy, że funkcja f{x) jest całkowalna z kwadratem w przedziale {a. b) oraz iłnia w tym przedziale warunki Dirichleta, które głoszą, żc
1) przedział (a, b) można podzielić na skończoną liczbę takich części, w których funk-! f{x) jest nionotonieznu,
2) funkcja y(jr) ma w przedziale (zr, b) skończoną liczbę punktów nieciągłości, a po-
tlto jej wartość bezwzględna jest ograniczona w każdym punkcie tego przedziału, nteję f{x) można wówczas przedstawić w postaci uogólnionego szeregu Fouriera wzglę-m ortogonalnego ciągu funkcyjnego a mianowicie
(11.7)
o— 1
b
/(*>= X A *„(*),
I.S: 1
Ul-8)
Ciąg funkcyjny j V„( v)} jcsl orhuion.ilm : wogg i>(\) w pr/cd/inlr (u./>l, jeMi
\xn(x)Xn,(x)wix)dxJ[°A ^
gd/ie: A > O jest wielkością stałą; zazwyczaj zakłada się, że w(.r)> 0. Normę ciągu funkcyjnego {A„(.v)} ortogonalnego z wagą u(x) określa wzór
I *
||*<j(*)|| = J ^.2(x)w(x)dx.
Y d
Uogólniony szereg Fouriera funkcji f(x) względem ortogonalnego ciągu funkcyjnego |A'„(x)} z wagą w (a) wyraża się wzorem (11.7), w którym A„ oblicza się ze wzoru
jjW„(x)|p.
/(x)X„(x)w?(x)dx,
gdzie normę ||A'„(x)]| przedstawia zależność (11.10). Powyższe wyrażenia są prawdziwe przy założeniu, że funkcja /(a) jest całkowalna z. kwadratem w przedziale (a, b) i spełnia warunki Dirichlcia w tym przedziale.
Rozpatrzmy funkcję j(x, j) dwóch zmiennych x, y określoną i całkowalną z kwadratem w obszarze S. Niech (At(a)} oraz {Km(y)} oznaczają ortogonalne ciągi funkcyjne określone odpowiednio dla każdego x oraz y z omawianego obszaru. Uogólnionym podwójnym szeregiem funkcji /(x, y) względem ciągów ortogonalnych |Ył(x)} oraz {Fm(y)| nazywamy wyrażenie
/(*>)’) = Z •'libi.,,r<n(-v• A’)’ (M.12)
*, »i “ i
gdzie:
vkm(x, y) =- A\(a) Yj y) (11.13)
jest funkcją własną, zaś Akm jest wielkością stalą.
Normę funkcji własnej przedstawia wzór
, yjdTdy. (11.14)
Współczynniki uogólnionego szeregu Fouriera oblicza się ze wzoru
(11.15)
■ j-^ |,, J |f(x, y)(*,„(a . v)dxdy.
(II. 16)
(11.17)
Normę funkcji własnej ortogonalnej z wagami h,( v). ir,(r) przedstawia wzór !|t't,n|i ' Ij , y) W,(a ) w2(y)dxdy, a współczynniki uogólnionego szeregu Fouriera wyrażają się wzorem Ahm = |, .,. J]'/(-’£ ■ )’) vkm( x, y) w, ( a ) w ,(y) d a dy.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Image0013 BMP 1.3. Wielkości charakteryzujące pole elektromagnetyczne .3.1. Określenia i zależności
Egzam z Żelbetu semestr2 str 0016 bmp Wartość Acrpr można określić na podstawie rysunku} 34 w zależn
img305 Macierz korelacji nic ulegnie zmianie, jeśli od zmiennych X- określonych zależnością (15.2) p
4.3.2 Metoda rozdzielania zmiennych. Funkcje własne........... 61 4.3.3
skalarnych, metoda rozdzielonych zmiennych Układy równań różniczkowych liniowych Stabilność
Image0026 BMP 2.6. Pojemność elektryczna. Kondensatory 2.6.1. Określenie pojemności Kondensatorem na
Image0118 BMP f.2. Metoda Rilu Poszukujemy ekstremum funkcjonału przy założeniu, że funkcja u(x, y)
DSC06527 resize Metoda MBP polega na tyn^ze określamy na podstawie czynników stałych i zmiennych pro
Image0104 BMP rswę/enlr polu magnetycznego obliczamy ze w/oni i pu podstawieniu zależności (10.33) i
Uwagi ogólne o równaniach .różniczkowych rzędu pierwszego. Rozdzielanie zmiennych. Metoda podstawien
Image006 pobierana przez układ, którą można określić zależnością T Ps = yUcĄ Icc(.t)dt o gdzie: Ucc
Slajd2 CPM Pojęcia podstawowe Metoda CPA pozwala określić drogę krytyczną w sieci czynności opisując
Moc odbiornika można również określić z zależności (1.6) na podstawie pomiarów napięcia i prądu. 2.
75551 PC043345 Rozdział 3. Funkcje jednej zmiennejWstęp W niniejszym rozdziale przedstawiono w zwart
Makrofitowa Metoda Oceny Rzek -określanie klasy czystości na podstawie MTR i
więcej podobnych podstron