img053 (26)
58
Znaczenie twierdzenia 3.4 z punktu widzenia praktyki obliczeń numerycznych jest następujące. Jeżeli dla zadanego punktu początkowego x(0) ciąg (*(/)),-eN otrzymany zgodnie
z algorytmem iteracji prostej posiada „wyraźnie” wyodrębniające się podciągi zbieżne, to zbiór punktów granicznych tych podciągów, co jest równoważne ze stwierdzeniem „punktów będących punktami skupienia ciągu (xw)/eN”, jest podzbiorem niezmienniczym odwzorowania F(-). Jeżeli ciąg (rfflVfN jest ciągiem ograniczonym, to zbiór punktów granicznych tego ciągu zawiera co najmniej jeden element. A zatem, jeżeli dla pewnego punktu początkowego *(0) dla iteracji (3.67) otrzymany ciąg (xw)-£N jest ciągiem ograniczonym, to zbiór
punktów granicznych tego ciągu (zbiór punktów skupienia tego ciągu) jest podzbiorem niepustym i będącym pewnym podzbiorem niezmienniczym odwzorowania F(-).
Możliwość numerycznego wyznaczenia rodziny podzbiorów niezmienniczych sprowadza się do problemu analizy numerycznej ciągów (x^)jsN dla różnych wektorów początkowych JC(0) w celu wydzielenia podciągów zbieżnych wraz z ich punktami skupienia będącymi punktami granicznymi. Należy tu nadmienić, że w szeregu interesujących z praktycznego punktu widzenia zagadnieniach przebieg iteracji jest bardzo skomplikowany i analiza zbiorów granicznych ciągów nie jest zadaniem łatwym z powodu ich złożonej, wielopunk-towej budowy.
Następujące twierdzenie Brouwera dotyczy zagadnienia istnienia punktów stałych dla odwzorowania F(-) w ograniczonym podzbiorze w R”.
Twierdzenie 3.5 (Brouwera [15])
Niech Z będzie podzbiorem R" homeomorficznym z kulą jednostkową K = |x e R" : || | < lj. To znaczy, istnieje odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne i cią
głe zbioru Z na kulę K i takie, że odwzorowanie odwrotne jest też odwzorowaniem ciągłym.
Niech F(-) będzie odwzorowaniem ciągłym przestrzeni R" w siebie takim, że F(-) odwzorowuje zbiór Z w siebie, F(z) c Z . Wtedy istnieje taki punkt x* e Z, że F(jc*) = x*. ■
Należy zauważyć, że z twierdzenia Brouwera nie wynika jednoznaczność punktu stałego. Odwzorowanie F(-) może posiadać w podzbiorze Z, o którym mowa w twierdzeniu 3.5 wiele punktów stałych.
Jak wynika z treści twierdzenia Brouwera, podstawowym problemem jest tu znalezienie zbioru Z homeomorficznego z domkniętą kulą jednostkową w R” i takiego, że dane odwzorowanie F(-) przekształca ten zbiór w siebie. Jeżeli na podstawie analizy numerycznej lub analizy jakościowej można określić pewien zbiór Z, o którym jest mowa w twierdzeniu Brouwera, to odwzorowanie F(-) ma przynajmniej jeden punkt stały, odnośnie którego wiadomo, że jest zawarty w tym zbiorze. Oczywiście, może być znana cała rodzina podzbiorów przestrzeni R" spełniających założenia twierdzenia 3.5. Z punktu widzenia możliwości analizy numerycznej znalezienie nawet jednego takiego podzbioru nie jest jednak ogólnie zadaniem łatwym do zrealizowania.
Twierdzenie Brouwera ma nieomal bezpośrednie uogólnienie dotyczące odwzorowań ciągłych przestrzeni Banacha, a więc odnoszące się również do odwzorowań ciągłych przestrzeni nieskończenie wymiarowych, w tym przestrzeni funkcyjnych. Uogólnienie twier-
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Salomonowicz (6) 58 usprawiedliwiona ani z punktu widzenia filozoficznego, ani nie jest użyteczna sp
05 statystyczną i z punktu widzenia procesów cieplnych możliwe jest jej stosowanie dla jezior o regu
skanuj0092 (26) powych i nudnych z fizjologicznego punktu widzenia grup spółgłoskowych lr, kv itp. [
1.1. Pojęcie i istota procesów przygotowania produkcji 11 Najkorzystniejszym z punktu widzenia prakt
38 i Andrzej Szlęk r7-3- Krzywa wypalania paliwa Z punktu widzenia praktyki spalania najistotni
zdjęcie0374 (3) Znaczenie składnic z punktu widzenia zagospodarowania lasu -szybkie usunięcie drewna
UBÓSTWO A PODATNOŚCI NA UBÓSTWO Zarówno z teoretycznego punktu widzenia jak i z punktu widzenia prak
41694 ScannedImage 33 Z Luhmannowskiego punktu widzenia prywatyzacja procesów decyzyjnych jest konse
ETŚT Niezawodność systemu Z punktu widzenia niezawodności środek transportu jest systemem złożony
Z punktu widzenia teoretycznego rozwiązanie takie jest bardzo sensowne i powinno przynieść określone
DSC00005 (10) I (oporność) rezystancja stanowiska pracy - z punktu widzenia bezpieczeństwa pracy poż
ScannedImage 33 Z Luhmannowskiego punktu widzenia prywatyzacja procesów decyzyjnych jest konsekwencj
więcej podobnych podstron