img441 (2)

Rozpatrzmy funkcję /.

dla x < 1 dla x = 1, dla x > 1

więc w celu zbadania, czy istnieje lim /(x), należy obliczyć granice jednostronne. Mamy

Zatem nie istnieje lim /(x). 0 funkcji / powiemy, że nie jest ciągta w punkcie x₀ = 1, ponieważ nie istnieje lim /(x).

x-»1

jx — 2 dlax 5* 1

W przypadku funkcji g danej wzorem g(x) - i ^ dla x ~ 1 ’ ^mamy

lim g(x) = lim (x- 2) = -1.

x->1    ' x—>1 ^v '

Dlaczego więc ta funkcja nie jest ciągła w punkcie x = 1 ? Otóż wprawdzie istnieje lim g(x), ale wartość funkcji w badanym punkcie nie jest jej równa. Mamy

bowiem

- ¹ = lim g{x) *g{ 1) = 0.

f x — 2 dlax < 1

Dla funkcji h danej wzorem h(x) = i ₊ ^ dla x > 1 ’ ^otrzy^muj^emy -1 = lim h(x) * lim , h(x) = 3,

zatem również nie istnieje granica lim h(x) i to jest powodem nieciągłości.

Czwarta z omawianych funkcji jest określona wzorem /(x) = x - 2 dla xe/?, więc lim /(x) = lim (x — 2) = —1 oraz /(1) = 1 - 2 = -1.

Tak więc tym razem istnieje (skończona) granica lim /(x) i zachodzi równość lim /(x) - i (1).

Możemy więc przyjąć następującą definicję:

funkcja / będzie określona w pewnym otoczeniu U(x₀) punktu x₀. IN / jnst ciągła w punkcie x₀ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje (skohczo-

prawdziwa jest równość lim /(x) = /(x₀).

X >X₀

t-hi • ląylirtr I funkcji / w punkcie x₀ niezbędne jest, aby funkcja / była określo-M« W (ito< /rnlu tego punktu, skąd wynika, że musi ona być również określona # Mmym punkcie x₀. Natomiast do tego, by istniała sama granica wystarczy, N flinkc |>t l>yla określona tylko w sąsiedztwie tego punktu (w samym punkcie Mln/n nlr być określona).

NłWliYmy Jeszcze raz do trzeciej z rozważanych przez nas funkcji. Wiemy już, że

lim h(x)=-1    oraz    lim h(x) = 3.

/auwdżmy teraz dalej, że h( 1) = 1 -2 =-1.

/•Inm mamy:

lim h(x) - h( 1)    oraz    lim₊ h(x) * h(1).

Warunek występujący w definicji ciągłości jest więc spełniony dla granicy le-Wtmlronnej, ale nie jest spełniony dla granicy prawostronnej. Powiemy, że funk-1|a I*i Jest ciągła lewostronnie w punkcie x₀ = 1 i nie jest prawostronnie ciągła W lyrri punkcie. Możemy więc przyjąć następującą definicję.

IIHNIGJA111.

Nl«ch funkcja / będzie określona w lewostronnym (odpowiednio prawostronnym) otoczeniu punktu x₀. Funkcja / jest lewostronnie (odpowiednio prawo-Itronnie) ciągła w punkcie x₀ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica lim /(x) (odpowiednio lim^ /(x)) oraz prawdziwa jest równość lim /(x) = /(x₀)

łt¹    x—>x₀    x >x₀

(odpowiednio lim₊ /(x) = /(x₀)).

X >X_Q

(ieometrycznie można ciągłość interpretować jako „nierozerwanie” wykresu funkcji w tym punkcie. W przypadku omawianych funkcji /, g, h nastąpiło „rozerwanie" wykresu. Punkty, w których wykres został „rozerwany", są to punkty nie-< lągłości funkcji. Nieciągłość funkcji g łatwo usunąć, przyjmując g(1) = -1 za-

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
71762 Slajd5 (107) Minimalizacja i mapy Karnaugha Ponieważ dla funkcji logicznych nawet tak prostych
130 II. Funkcje jednej zmiennej niej twierdzenie z ustępu 57 o granicy funkcji monotonicznej; poniew
17 Funkcje zespolone. Nie jest to funkcja holomorficzna w punkcie z0 = 0, ponieważ dla z ^ 0 pochodn
459 § 5. Elementarne funkcje zmiennej zespolonej Niech będzie 0<0<tc. Ponieważ dla r = 1 szere
Granica i ciaglosc fukcji strh 69 , Pokazać, że funkcja /:lRł - R,:* + / dla (x,y)#(0,0)f(*.y) - jes
Image233 Jeżeli funkcje przełączające dla wejść J i K zostaną przekształcone w następujący sposób: j
Image239 z których wyznaczono następujące funkcje przełączające dla poszczególnych przerzutników: Da
Image271 wiające wyznaczanie funkcji przełączających dla poszczególnych przerzutników licznika. Funk

więcej podobnych podstron