288    5. ZARYS RACHUNKU TENSOROWEGO

Obecnie wyznaczamy wektory kontrawariantne prędkości V^k oraz W^k obu ciał. Składowe tych wektorów wynoszą:

V^l=2, V² =2ł, V³ = l, W¹ = 3t², W² = At, W³ = 1. Wyznaczamy składowe wektora V^k dla chwili ?, = 1

V^x —2, V² = 2, V³ = 1

V    '    >

oraz składowe wektora W dla chwili t — 2

W^x = 12, W² = 8, W³ = 1,

następnie, obliczamy składowe tensora metrycznego (5) w punkcie przecięcia się krzywych (1) i (2), są to wartości

a_mn = 0 dla m # n oraz a, _t = 1, a₂₂ = 4, a₃₃ = 1.

Ze wzoru (3.15) wyznaczamy miary bezwzględne wektorów V^k oraz W^k

V = Ja_n(V')² + a₂₂(V²)²+a₃₃(V³)² = V21,

W' = 'Ja_il(W^l)²+a₂₂(W²)² + a₃₃(W³)² = ^433.

Korzystając ze wzorów (3.17) oraz (3.18) obliczamy cosinus kąta między wektorami V^k i W^k

cosę =

KIK

41

V2lV433‘

Kąt<p =• się ciał.

41

arc cos ———— V2lV433

jest kątem pod jakim przecinają się tory (1) i (2) poruszających

/

Zadania do rozwiązania

1.    Wyznaczyć składowe tensora sprzężonego a^mn z metrycznym tensorem kowariant-nym a_m„ we współrzędnych sferycznych x^k = (g, Q,<p).

2.    Wyznaczyć składowe tensora sprzężonego a^mn z metrycznym tensorem kowariant-nym a_mn we współrzędnych cylindrycznych = (r,(p,z).

3.    Wyznaczyć składowe metrycznego tensora kowariantnego a_mn we współrzędnych xJ związanych ze współrzędnymi kartezjaóskimi y^r następującymi zależnościami:

y¹ = x¹+(x²)², y² = 3x³, y³ = x²x³ +1.

4. Wyznaczyć miarę bezwzględną wektora kowariantnego K_r danego w układzie

d<p

sferycznym ,y\ jeżeli K_r = —, gdzie <P(x^l, x², x³) = (x^l)²+x²x³.

cx

Odpowiedzi

1. a^mn = 0 dla m # n ora

2. a^mn = 0 dla m # n ora

3.    ajj = 1, a₁₂ —    2

*33 - 9 + (x²)²J_.

4.    K=^[4(x²)² + l](x^l]

§ 4. Symbole Christoffe

Definicja 1. Linią geode linię x^k = x^k(t), której długo

(4.1)

pomiędzy dwoma ustalonymi We wzorze (4.1) e jest lici przestrzeni, a t jest parametr

Własność 1. Tensor metry składowe o następujących wat

(4.2)

Własność 2. Linią geodez

Własność 3. Warunkiem k jest, aby jej równania spełniał

(4.3) gdzie

W

Równanie (4.3) nosi nazwi Własność 4. Jeżeli V = ea możemy napisać w postaci (4-4)    i

19 — Wybrane działy matematyki...