img483

PR/YKtAO 15.

Zbadajmy przebieg zmienności funkcji J'(x) 2x (x I)-'.

1.    Dy = (-00, +oo).

2.    Funkcja nie jest okresowa. Nie jest ani parzysta, ani nieparzysta (uzasadnij).

3.    Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji: f(x) = O o (2x(x — 1)² = 0 a x e Dy) <=> (x = 0 lub x = 1). Zatem punkty wspólne wykresu funkcji z osią OX to punkty (0, 0) oraz (1,0).

Teraz wyznaczamy punkt wspólny wykresu z osią OY. Ponieważ /(O) = 0, więc jest to punkt (0, 0).

^r2x(x- 1)²

i 4

-00 +00

Z postaci dziedziny funkcji wynika, że nie ma asymptot pionowych wykresu. Z obliczonych granic wnioskujemy, że brak również asymptoty poziomej. Zbadajmy istnienie asymptoty ukośnej. Ponieważ

lim = lim 2(x - 1 )² = +oo, więc brak też asymptoty ukośnej.

5. W celu wyznaczenia pochodnej, wygodniej jest najpierw przekształcić wzór funkcji:

f(x) = 2x(x - 1 )², czyli f(x) = 2x³ - 4x² + 2x,

skąd

/'(x) = 6x² - 8x + 2 , czyli f'(x) = 2(3x² - 4x + 1).

Widzimy, że Df = Df. Dalej,

/'(x) = 0 «• (3x² - 4x+1 = 0 a X£ Df) <=> (x = 1 v x = 1),

/'(x) > 0 «• (3x² -4x+1>0 a xe D_f) <=> x

/' (x) < 0 x

6. Do zbudowania tabelki wygodnie jest najpierw zebrać wszelkie punkty, które wystąpiły w dotychczasowych obliczeniach. Mamy więc: 0 (miejsce zerowe), 1 (miejsce zerowe pochodnej), 1 (miejsce zerowe funkcji i pochodnej).

*	(-«. 0)	0	(o. i)	1 3	(i i)	1	(1,+oo)
/'(*)	+	+	+	0	-	0	+
m	-00	0	*	maksimum lokalne 8 27		minimum lokalne 0	+00 *

W tabelce wypełniamy drugi wiersz (dotyczący pochodnej funkcji), następnie wpisujemy w trzecim wierszu granice funkcji oraz wartości dla wyróżnionych argumentów i strzałki wskazujące czy funkcja w danym przedziale rośnie, czy maleje.

7. Szkicujemy wykres funkcji

Przykład 1 5. pokazał, w jaki sposób można naszkicować dokładniej wykres wielomianu, z którym spotykałeś się już w klasie drugiej.

PRZYKIAD 16.

Zbadamy przebieg zmienności funkcji f(x) =

Wobec parzystości funkcji / wystarczy znaleźć wykres funkcji

dokonać symetrii tego wykresu względem osi OY i obliczyć wartość funkcji / i ewentualnie wartość pochodnej w punkcie x₀ = 0.

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
img483 PR/YKtAO 15. Zbadajmy przebieg zmienności funkcji J (x) 2x (x I)- . 1.    Dy =
przebieg zmiennosci funkcji2 ZADANIE 2 Zbadaj przebieg zmienności funkcji i naszkicuj jej wykres: f
przebieg zmiennosci funkcji2  yK@Sffli6Sitóii%śe&iEK®s5:ZADANIE 2 Zbadaj przebieg zmiennoś
matematyka kolokwium W1 W 1 09/10 1 Rozpisz znak sumy - - 35 + 5A:i z p= Ar—12 V Zad 2 Zbadaj przeb
098 2 194 X. Badanie przebiegu zmienności funkcji Zadanie 10.11. Zbadać przebieg zmienności funkcji
114 2 226 X. Badanie przebiegu zmienności funkcji zatem dy dy dx 900e~ 0,021 — 500
img504 (3) Bmlmiic
przebieg zmiennosci funkcji1 czyli lim /O) = -oo Brak asymptot poziomych. Asymptota pionowa nie ist
przebieg zmiennosci funkcji3 6-7. Monotoniczność i ekstrema funkcji 2xi - 2 sgn f (x) - sgn ——— = s
przebieg zmiennosci funkcji Twierdzenie: Asymptota ukośna Prostay - cix + Z? jest asymptotą ukośną w
45433 img484 Najpierw zatem badamy przebieg zmienności funkcji f\ 1. D, = (O, 1) u (1, +oo). Najpier
Badanie przebiegu zmienności funkcjiDEFINICJE, TWIERDZENIA Zanim zaczniemy badać przebieg zmienności
035 4 Badanie przebiegu zmienności funkcji Twierdzenie: Asymptota ukośna Prosta y = ca + b je
Badanie przebiegu zmienności funkcji czyli lim f(x) = -oo Brak asymptot poziomych. Asymptota pionowa

więcej podobnych podstron