MATEMATYKA112
214 IV, Całka nieoznaczona
3. CAŁKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH
Całkowanie ułamków prostych Przypomnijmy (por. rozdział I), żc funkcją wymierną nazywa się iloraz dwóch wielomianów. Każdą funkcję wymierną można przedstawić w postaci sumy wielomianu (być może równego zeru) oraz ułamków prostych pierwszego i drugiego typu, tj. funkcji wymiernych właściwy cli odpowiednio postaci:
gdzie A = p2-4q <0.
A _ Ax + B (x-a)nt (x"2 + px + q)n ’
Całkowanie funkcji wymiernych sprowadza się więc do całkowania wielomianów i całkowania ułamków prostych.
Całkowanie ułamków prostych pierwszego typu jest prostym ćwiczeniem na całkowanie przez podstawienie albo wykorzystanie wzorów (2.3) łub (2.5). Ilustruje to
PRZYKŁAD 3.1
2 dx 3x - 4
3x-4 = t dx = jdt
albo inaczej:
lś^4d,i = fjl^4<,’<= < > = |ln(3x-4|+C;
b>!
2dx
(3x-4)5
3x-4»t
dx»-jdt
fjr5di.f(-lr4)+c
6(3x-4)4
+ C
albo na podstawce wzoru (2.5):
J^“2f(3x-4r’dx = 2T>’‘-4>',+c
>1
(3x~4)> J' ’ -ł "4 ' 6(3x-4)4
Całkowanie ułamków' prostych drugiego typu jest trudniejsze.
Rozpatrzymy kolejno przypadki szczególne A. Jeśli k>0,to
f—-
k + x2
x - Jk t dx » Adi
r Adt =j_ Jk + kt2 Vk
arctgt +• C - -i»arctg-*Ł- + C.
Zatem, jeśli k>() (wtedy A<0), to
f dx 1 •*k+x2 A
arclg-W + C.
7k g7iT
PRZYKŁAD 3.2 Obliczymy całki: dx
dx f dx fx»At ) p Ądl _ 1 f dl
J-3-x2 J 3+x2 [dx-V5dtJ J 3-#-3t2 ^J|+|2
= -^arclgt+C---Larctg-|+C. Oczywiście wynik ten możemy uzyskać stosując bezpośrednio wzór (3.1).
b)J-y5— “ f f“TT “ {wzór <3 1) }= ^-arcig-5^+C. ■
J3xz+4 3JX*+4 6 2
B Całki postaci
[ dx
Jx2+m
gdzie A = p2 - 4<| < 0,
px+q
przekształcając mianownik do postaci kanonicznej, sprowadzamy do całki postaci (3.1).
PRZYKŁAD 3.3 Obliczymy całki :
A • -12 <0
J x2 + 4x + 7
x2 + 4x + 7b(x + 2)2 ■» 3
f_dx_fx*2-ll MX + 2)2+3 1 dx a dt |
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
MATEMATYKA104 198 IV. Całka nieoznaczona l-4x Funkcję f, dla której istnieje całka nieoznaczona na
64390 MATEMATYKA116 222 IV. Całka nieoznaczona 3. Omówić sposób postępowania przy całkowaniu dowolny
30267 MATEMATYKA117 mm 224 IV Całka nieoznaczona4. CAŁKOWANIE PEWNYCH FUNKCJI NIEWYMIERNYCH CAŁKI TY
MATEMATYKA004 IV CAŁKA NIEOZNACZONA 196 1. &nbs
MATEMATYKA105 200 IV. Całka nieoznaczona TWIERDZENIE 1.4 Jeżeli f jest ftmkcją całkowalną na pewnym
MATEMATYKA106 202 IV. Całka nieoznaczona = tgx-ctgx+C Całkowanie przez podstawienie TWIERDZENIE 2.1
więcej podobnych podstron