MATEMATYKA114
21X IV Całka nieoznaczona
, f 3x-f2 3r 2x + l , I r dx -3 ,
J (X5+X+1)2 X ” 2 J (x2 + x+l): X ł 2 J (x2 -» \Tip‘a2J ’’V1".
gdzie
j'= f_2iŹi—^-Jxa+x4l-t 1 _ fd{_ _ _i____1
J(X2 + X + 1)2 l(2x + l)dx*łH| J t2 r 1 x*4x + r
j» f dx f dx
J(x!+x+.rJ((x i)J+\r
X i - «l dx »dt
2f dl
'! + 4
2' ' 4
r{ stosujemy wzór (3.2) dla n=*2 i k^3/4 } =-ę -—~ ■ 2
t2-4-
4
2 t 4 _ 2t 2x+l 4 ~
Ostatecznie otrzymujemy:
T_ 31 3 . 2x + l 2 2x41
2,+2J = 2(x2+x+ 1) ć(x2+x+l) +573arClg7J + C =
x-4 2 2x + |
= V+x+i)+yTarc,8"7T+c ■
CAŁKOWANIE DOWOLNYCH FUNKCJI WYMIERNYCH. Jeżeli chcemy wyznaczyć całkę nieoznaczoną dowolnej funkcji wy miernej, to:
1) przede wszystkim sprawdzamy, czy licznik nic jest pochodną mianow nika - i jeśli tak, to stosujemy wzór (2.3),
2) jeśli jest to funkcja wymierna właściwa nic będąca ułamkiem prosty m i taka, że licznik mc jest pochodną mianownika, to w znany sposób (por rozdz 1) rozkładamy ją na ułamki proste i całkujemy te ułamki,
3) gdy jest to funkcja wymierna niewłaściwa, to najpierw' dzielimy licznik przez mianownik i z częścią ułamkową ilorazu, która jest już funkcją wymierną właściwą, postępujemy jak w punkcie 1) i 2) wyżej.
PRZYKŁAD 3.6 Obliczymy całki:
, f 3x-4 a) -f—:—rdx, J jt-3x+2
c) lr>'
3x-4 . r x2
b)Jó?^dx'
dx.
,v f x5+2x*-x*-x-2
i-**— d)I-?T“
a) Funkcja |>odcalko\va jest funkcją wymierną właściwą, ale nic jest ułamkiem prostym, bo wyróżnik trójmianu w mianowniku jest dodatni, A=l. Wobec tego rozkładamy ją na ułamki proste, po uprzednim sprowadzeniu mianownika do postaci iloczynowej:
3x-4 A R (x-lXx-2)“x-l + x-2’
stąd
3x-4sA(x-2)+B(x-l).
Współczynniki A i B wyznaczymy tzw. "metodą wartości dowolnych"; przyjmując za x w ostatniej tożsamości x - 1 i x = 2, otrzymamy A = 1, 13 = 2. Uwzględniając uzyskany rozkład, mamy:
d\
=/-^7+2j~=ln|x-J|+21n|x-2|+C.
•3x+2
x—1
dx
x-2
b) Funkcja p<xlcałkowa jest funkcją wymierną właściwą, ale me jest ułamkiem prostym Wobec tego przedstawiamy ją jako sumę ułamków prostych:
_x2 A R
(x 2)2(x + 2)2~x-2 + (x 2)2
C D
x + 2 + (x+2)2
Stąd
x2«A(x-2)(x+2)2 i B(x+2)2+C(x+2)(x 2)21 D(x-2)2.
Współczynniki A, B, C. D znajdujemy stosując łącznic metodę wartości dowolnych i metodę przy równywania współczynników
|
x = 2: |
4 = 16B |
B= 1/4 | |
|
x- -2: |
4 = 16D |
D = 1/4 | |
|
X1: x°: |
0 = A +C 1 0 = -8A+4B f 8C+4DJ |
A 1/8 C = - 1/8 |
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
42313 MATEMATYKA121 232 IV. Całka nieoznaczona 232 IV. Całka nieoznaczona wsie. ~m-2żJL,m-T2—4 -jJi—
MATEMATYKA104 198 IV. Całka nieoznaczona l-4x Funkcję f, dla której istnieje całka nieoznaczona na
MATEMATYKA108 206 IV. Całka nieoznaczona PRZYKŁAD 2.5 Obliczymy całki: a) J = Jxcos2xdx Przyjmujemy:
MATEMATYKA112 214 IV, Całka nieoznaczona 3. CAŁKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH Całkowanie ułamków prostyc
20990 MATEMATYKA124 238 IV Całka nieoznaczona 3. a)sinx-^sinłx. b)-cosx+yco$łx-*coa5x, c)
21629 MATEMATYKA110 210 IV. Całka nieoznaczona -A d) c) j*xc X?dx, g) f dx J xin2 x Vh) f—^2 dx
więcej podobnych podstron