MATEMATYKA127

244 V. Całka oznaczona

TWIERDZENIE l.l (warunek konieczny calkowalności). Jeżeli f jest funkcją całkowalną na przedziale <a,b>, to f jest ftinkcją ograniczoną na tym przedziale.

Twierdzenie to orzeka, że ograniczoność firnkcji jest warunkiem koniecznym jej całkowa!naści.

TWIERDZENIE 1.2 (trzy warunki wystarczające całkowalnośa) Jeśli spełniony jest dowolny z następujących warunków;

(1)    funkcja f jest ciągła na przedziale < a, b >,

(2)    funkcja f jest ograniczona na przedziale <a,b > i ma w nim skończoną liczbę punktów nieciągłości,

(3)    f jest funkcją monotoniczną na przedziale < a, b >, to f jest funkcją całkowalną na przedziale < a, b >.

Z twierdzenia tego wynika, że ciągłość funkcji na przedziale domkniętym nie jest warunkiem koniecznym całkowalności tej funkcji na tym przedziale Na przy kład funkcja, której wykres jest podany na rysunku 1.1 jest całkowalna na przedziale < a, b >.

6 »

Rys l.l

PRZYKŁADU Na podstawie definicji obliczymy całkę

o

Funkcja f(x) * x\ jako ciągła, jest całkowalna Wystarczy' więc rozważyć jeden normalny ciąg podziałów przedziału < 0,1 > i jeden sposób wyboru punktów pośrednich x, w przedziałach częściowych. Przedział <0,1> punktami x, = 1/n, x₂ = 2/n,..., x₀_, = (n- l)/n dzielimy

im n przedziałów częściowych <0,l/n >,<l/n,2/n>,...,<(n - l)/n,l>

. równych długościach Ax, = Ax₂ =...= Ax₀ = l/n. Wówczas 6_n = l/n \ oczywiście 8_n -» 0, gdy n —> 0.

W każdym z przedziałów częściowych < (i - l)/n,i/n > obieramy punkt x₍ = i/n, tworzymy iloczyny f(x₁)Ax, = (i/n)'(l/n) i •urnę całkową S₀;

M    i-l ¹    n ł-1 n

Ponieważ

Interpretacja geometryczna Niech f będzie

funkcją ciągłą i nieujemną na przedziale <a,b>. Weźmy |kx1 uwagę figurę D ograniczoną liniami:    y = 0, y = f(x), x = a, x = b

(r>’s 1.2), czyli D = {(x,y)€R²: a^x<b, Ośy<f(x)}. Będziemy nazywać ją trapezem krzywoliniowym (gdy f(x) = mx + n, to figura D jest "zwykłym” trapezem).

Rys 1.2

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
MATEMATYKA150 290 V. Całka oznaczona TWIERDZENIE 4.6 Pole
62668 MATEMATYKA137 264 V. Całka oznaczona 2.    Stosując twierdzenia o całkowaniu pr
MATEMATYKA138 266 V. Całka oznaczona 15. Jeśli funkcja f jest określona na przedziale < a,x) i ca
MATEMATYKA132 254    V. Całka oznaczona (2)    Funkcja całkowalna na p
MATEMATYKA128 246 V. Całka oznaczona Chcemy określić pole
MATEMATYKA129 24K V. Całka oznaczana PRZYKŁAD INTERPRETACJI FIZYCZNEJ Ograniczymy się do podania jed
MATEMATYKA134 258 V Całka oznaczona Stosujemy podstawienie arccos2x = t Wówczas 7‘ dx = -ldl. Vl~4
MATEMATYKA144 278 V Całka oznaczona «o    flJ4rdx = lim J4rdx = lim ^(P1 ” - D = +<

więcej podobnych podstron