Obraz4 (157)
Twierdzenie: Jeżeli f(x) jest funkcją ciągłą w przedziale [a, b], to istnieje
b
J / (x)dx
zapewnia nas, że przy podanym założeniu nasza konstrukcja jest wykonalna. Równocześnie to twierdzenie upoważnia nas w każdym przypadku, w którym f(x) jest ciągła w [a, b], do traktowania symbolu
b
J f(x)dx
a
jako symbolu zupełnie określonego przedmiotu i do wykonywania pewnych czynności z nim związanych zgodnie z innymi twierdzeniami. Na przykład w tym przypadku, jeżeli c jest liczbą, to zamiast
b
J cf(x)dx
a
możemy zawsze napisać
c j f(x)dx
wiemy bowiem, że konstruując funkcję c f(x), a następnie według opisanego planu wyznaczając
b
otrzymamy tę samą liczbę, którą otrzymalibyśmy wyznaczając
J f{x)dx
i mnożąc otrzymaną liczbę przez c.
1.2. W definicji całki podano bezpośrednio ciąg czynności, których wykonanie prowadzi do konstrukcji tego przedmiotu. Niejednokrotnie definicja matematyczna ma inną postać; operacje nie są ujawnione od razu w sformułowaniu. Trzeba czasem czytany tekst rozwikłać ze względu na te operacje. Dzieje się to np. wtedy, gdy na jakimś szczególnym modelu usi-
łujemy wniknąć w treść definicji. Oto przykłady zaczerpnięte z praktyki szkolnej:
a) Obserwujemy uczennicę klasy X czytającą definicję: ,jednokładno-ścią względem środka O w skali k * 0 nazywamy przekształcenie płaszczyzny, które punktowi X przyporządkowuje punkt X' tak, że OX' = k OX”. Uczennica stwierdza: „nic z tego nie rozumiem”. Nauczyciel zachęca: „przeczytaj jeszcze raz i od razu ilustruj na rysunku to, co czytasz; wybierz punkt O, przyjmij np. k-2 oraz punkt X i skonstruuj X' zgodnie z tą definicją”. Uczennica czyta uważnie tekst, jednocześnie rysując. „To bardzo proste” - mówi - „nie wiem, czego tu nie rozumiałam”. Definicja interpretowana w toku lektury krok za krokiem w języku operacji równocześnie konkretnie realizowanych w modelu rysunkowym, stała się jasna. Uczennica myśli i mówi: „aby wyznaczyć obraz punktu X w jednokładności względem środka O i w skali k, biorę pod uwagę wektor OX. Ten wektor mnożę przez k i otrzymuję wektor OX'. Punkt X' jest szukanym punktem”.
b) Uczeń czyta definicję: „księżycem Hipokratesa nazywamy figurę postaci k(0/, r{) - w (02, r2), gdzie o(Ot, rh) i o(02, r2)‘ są dwoma okręgami przecinającymi się dokładnie w dwóch punktach”. Aby zrozumieć tę definicję, uczeń konstruuje rysunkowy obraz księżyca Hipokratesa. Rysuje dwa koła, których brzegi przecinają się: zacieniowuje obszar przedstawiający wnętrze jednego z tych kół, czym symbolizuje odrzucenie punktów tego wnętrza z koła drugiego, koloruje rysunek pozostałej z drugiego koła figury, aby graficznie zilustrować skonstruowany przedmiot i uchwycić jego kształt.
c) Uczniowie czytają definicję: „przy założeniu, że n jest liczbą naturalną: 1! = 1 i (n+1 )!=n!(n + 1)”. Nie rozumieją jej od razu. Nauczyciel nic nie wyjaśnia sam, proponuje natomiast: „spróbujcie obliczyć liczbę oznaczoną symbolem 2/”. Po krótkiej refleksji pada odpowiedź: „aha! trzeba napisać: 2/= 1! 2=2, i dalej już. szybko: 3!=2! 3=6, 4!=3! 4=6 4=24 itd. „Co nam daje druga informacja?” - pyta nauczyciel. „Sposób wyznaczenia (n + 1)1, gdy znamy n!” mówią uczniowie. Jeden z uczniów zauważa: „przecież to można od razu wyznaczyć” i pisze: n! = 12... n.
Uczniowie od definicji jawnie rekurencyjnej przeszli do wzoru, który nie wymaga już pozornie stosowania rekurencji (jest ona ukryta —
1 1 o(A, a) - okrąg o środku A i promieniu a, k(A, a) - kolo o środku A i promieniu a, w(A, a) -
215
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
O?łkowaniu przez podstawianie Twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie Jeżeli/jest funkcją ciągłą
ca2 Rozdział 9 Twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie. Jeżeli/jest funkcją ciągłą, a ę ma ciągł
188 2 374 XIX. Całki oznaczone (19.3.8) Jeżeli gx) jest funkcją ciągłą, g(x) funkcją rosnącą w przed
8 (10) 136 Ciągi i szeregi funkcyjneTwierdzenie Stone’a-Weierstrassa 7.26. TWIERDZENIE. Jeżeli f jes
Obraz6 (4) 138 a następnie wartość M,. Jeżeli zarejestrowana jest funkcja ciągła n(t), to po oblicz
MATEMATYKA127 244 V. Całka oznaczona TWIERDZENIE l.l (warunek konieczny calkowalności). Jeżeli f jes
61 (33) Jeżeli y jest funkcją rzeczywistą klasy Dn w przedziale lc=9t, wtedy związek postaci: F(x,y,
MATEMATYKA105 200 IV. Całka nieoznaczona TWIERDZENIE 1.4 Jeżeli f jest ftmkcją całkowalną na pewnym
372 XIX. Całki oznaczone Można wykazać, że funkcja ciągła w przedziale domkniętym jest całkowalna a
pochodna Jeżeli f jest funkcją rzeczywistą (to znaczy przyjmującą wartości, będące liczbami rzeczywi
więcej podobnych podstron