P1111250

6 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona)

Dowód. To, że wraz z F(x) takie F(x)+C jest funkcją pierwotną funkcji f(x), jest zupełnie oczywiste, ponieważ [F(x)+C]' = F'(x) — f(x).

Niech teraz (:r) będzie dowolną funkcją pierwotną funkcji /(*), wówczas w przedziale 9j jest

0 (*)=/(*).

Ponieważ funkcje F(x) i 0 (x) mają w rozpatrywanym przedziale tę samą pochodną, różnią się one o stałą [131, wniosek], zatem

0(x) - F(x)+C₂

co należało udowodnić.

Z powyższego twierdzenia wynika, że wystarczy znaleźć tylko jedną funkcję pierwotną F(x) danej funkcji f{x), aby znać wszystkie inne funkcje pierwotne, różnią się one bowiem od siebie stałym składnikiem.

Na mocy tego wyrażenie F(x)+C, gdzie C jest stałą dowolną, jest ogólną postacią funkcji, która ma pochodną równą/(jc) lub różniczkę f{x) dx. Wyrażenie to nazywa się całką nieoznaczoną funkcji /(*); oznacza się je symbolem

ff(x) dx,

w którym tkwi już w sposób niejawny stała dowolna. Iloczyn f (*) dx nazywa się wyrażeniem podcałkowym, a funkcja f(x) — funkcją podcałkową.

Przykład. Niech/(.r) = x² \ wówczas, jak łatwo widać, całką nieoznaczoną tej funkcji będzie JV</jc=-j-+C.

Można to łatwo sprawdzić wykonując operację odwrotną — różniczkowanie.

Zwracamy uwagę czytelnika na to, że pod znakiem całki J piszemy różniczkę szukanej funkcji pierwotnej, nie zaś pochodną (w naszym przykładzie x²dx a nie x²). Historyczną genezę tego oznaczenia wyjaśnimy dalej [294]. Jest ono zresztą bardzo wygodne i zachowanie go jest celowe.

Z definicji całki nieoznaczonej wynikają bezpośrednio następujące jej własności:

1.    diftx)dx-fWdx.

tj. znaki d i J redukują się wzajemnie, gdy pierwszy umieszczamy przed drugim.

2.    Ponieważ F{x) jest funkcją pierwotną funkcji F'(x), więc

f F\x)dx = F(x)+C,

co można napisać tak :

(dFit)- F(x)+C.

Widzimy stąd, że znaki d i J stojące przed F (x) redukują się również wtedy, gdy d znajduje się po J, ale wówczas do F (x) należy dodać stalą dowolną.

Powracając do tego zadania z mechaniki, które postawiliśmy na początku, możemy teraz napisać

p « j a (t) dt i s = j v (0 dt.

Załóżmy na przykład, że rozpatrujemy ruch jednostajnie przyśpieszony odbywający się pod działaniem siły ciężkości, wówczas a = g (jeśli za dodatni uważać kierunek pionowy z góry w dół) i jak łatwo zauważyć

v = J g dt = gt+C .

Otrzymaliśmy wzór na prędkość t>, do którego oprócz czasu t wchodzi jeszcze stała C. Przy różnych wartościach C będziemy otrzymywali różne wartości prędkości dla tej samej chwili t_y tak więc nasze dane nie wystarczają do całkowitego rozwiązania zadania. Aby otrzymać zupełnie określone rozwiązanie zagadnienia, wystarczy znać prędkość w pewnej określonej chwili. Jeśli na przykład wiadomo, że w chwili t — t₀ prędkość v = v₀, to po podstawieniu tych wartości do otrzymanego wzoru na prędkość mamy

v₀ = gt₀ + Cy    skąd C = v₀-gt₀.

Teraz nasze rozwiązanie otrzymuje już w pełni określoną postać

v = g(t-t₀)+v ₀.

Znajdziemy następnie wzór na drogę s. Mamy

Łatwo jest sprawdzć różniczkowaniem, że funkcję pierwotną można wziąć w takiej postaci. Nieznaną nową stałą C' można wyznaczyć, jeśli na przykład dana jest droga $ = s₀ w chwili t = t_Q. Obliczywszy, że C' = s_Q, napiszemy rozwiązanie w ostatecznej postaci

s = y 0it-t₀)²+v₀(t-t₀)+s₀ .

Wartości t_0t s_0t v₀ nazywają się wartościami początkowymi wielkości f, j i v.

Jak wiadomo, pochodna funkcji y — F(x) daje współczynnik kątowy stycznej do wykresu tej funkcji. Zadanie znalezienia funkcji pierwotnej F(x) danej funkcji/(je) można więc interpretować w następujący sposób: trzeba znaleźć krzywą y — F(x\ dla której zachodziłoby dane prawo zmiany współczynnika kątowego stycznej:

tg«-/(x).

Jeśli y = F(x) jest jedną z tych krzywych, to wszystke pozostałe można otrzymać z ivej po prostu przez przesunięcie o dowolny odcinek C równolegle do osi y (rys. 1). Na to, by z tego zbioru krzywych wyróżnić jedną, wystarczy na przykład przyjąć punkt ( v₀, y<^, przez który krzywa ta ma przechodzić. Warunek początkowy y₀ * F(x₀) + C da nam C - y₀~F(x₀).

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
6 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) Dowód. To, że wraz z F(x) także F(x)+C jest funkcją
P1111262 30 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) Wyrażenie to ma sens właśnie dlatego, że zg
30 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) Wyrażenie to ma sens właśnie dlatego, że zgodnie z
P1111251 8 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) 264. Całka i obliczanie pola. Znacznie ważni
P1111270 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) Przyjmijmy ) /ax2 + bx+c = Podnosząc obie stro
500 (A NAWET WIĘCEJ) NAJPOPULARNIEJSZYCH POJĘĆ BIZNESOWYCH PO ANGIELSKUWSTĘP To, że językiem biznesu
PB062316 Oznacza to, że dodawanie macierzy jest łączne i przemienne elementem neutralnym. Przykład 1
page0079 69 Człowiek rzeczywistym jest człowiekiem tylko przez duszę, tylko przez to, że dusza 

więcej podobnych podstron