PB032267

Granica ciągu liczbowego ___________________________________________ 133

Wiemy, że lim — = 0.

*-»<» n

Stąd: lim (a„ -1) = lim — = 0; czyli lim (a„ -1) = 0.

Mówimy, że ciąg o wyrazie ogólnym a_n — ma granicą 1.

DEFINICJA 2.13

Wdę

iii.

Mówimy, że liczba g jest granicą ciągu («„) wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg (a„ zbieżny do zera, czyli:

g) jest

k %

8 * °9 =?||

?8on.

lima,,

n-*co

= g <=> -g) =0.

Inaczej mówiąc: liczba g jest granicą ciągu (a„) wtedy, gdy prawie wszystkie wyrazy tego ciągu należą do otoczenia liczby g.

Powyższą definicję możemy wyrazić następująco:

Mówimy, że granicą ciągu (a„) jest liczba g wtedy, gdy dla każdego otoczenia liczby g istnieje taka liczba M, że wyrazy ciągu o wskaźnikach n > M należą do otoczenia liczby g, co zapisujemy lim a_n = g.

i 7f—»oo

Jak wiemy, „każde otoczenie liczby g” znaczy to samo co „otoczenie liczby g o dowolnym promieniu e > 0”.

Zdanie „a_n należy do otoczenia liczby g o dowolnym promieniu e” zapisujemy :

g-e<a_n<g + e,czy\i\a_n-g\<s.

Stąd definicja granicy w zapisie symbolicznym ma postać:

lim a_n = g <=> /\ V /\ |««-g|<s. W e>0 M n>M

0 PRZYKŁAD 2.74

liągu) coraz

mniej różnili

Wykaż, że ciąg o wyrazie ogólnym a_n = — — ma granicę 3.

ROZWIĄZANIE

Aby wykazać, że liczba 3 jest granicą ciągu a_n - — —, należy udowodnić, że dla każdego

3w + l

e > 0 istnieje taka liczba M, że jeśli tylko n > M> to |a„ - g\ < s, czyli: —--3| < £.

Rozwiązując nierówność 3 <6 o

3n+l

3n + l

3 <6, otrzymujemy:

1 1

<£<=>-<£«» «>-. n 6