stat Page& resize

3.1 Podstawowe pojęcia

zamiast „w pełni poprawnego”

*!,X2,		~ ■	(3.5)
Definicja 3.2. Niech Xi,X?,...		F. Funkcję
F(x) = i " fal		l(X,<x)	(3.6)

nazywamy dystrybuantą empiryczną.

Czasami stosujemy zapis F_n(x) celem podkreślenia, że dystrybuanta empiryczna została skonstruowana w oparciu o n obserwacji. Dystrybuantę empiryczną traktujemy jako empiryczny, „obserwowałny” odpowiednik nieznanej dla nas dystrybuanty F(x), która „odpowiada” za zgromadzone przez nas dane. Dystrybuanta empiryczna ma pewne swoiste własności, które wynikają bezpośrednio ze wzoru (3.6) - jest ona funkcją schodkową, niemalejącą od wartości 0 do 1, a jej punkty nieciągłości pojawiają się tam, gdzie obserwacje X\, X?,..., X_n. Przykład 3.3. Załóżmy, że zgromadzono następujące dane o wynikach studentów z egzaminu ze statystyki (w skali od 0 do 10): 0, 2, 7, 8, 7, 10, S, 2. Stwórz dla nich dystrybuantę empiryczną.

Twierdzenie 3.4 (Gliwienki - Cantellego). Jeżeli X\, X?,..., X_n ~ F, to

(3.7)

dla każdego e > 0 zachodzi

(3.8)

Twierdzenie to oznacza, że wrak ze zwiększaniem się wielkości próbki (liczby obserwacji), możemy poznać (przybliżyć) nieznany nam rozkład prawdopodobieństwa w „mechanizmie losowym” z dowolną zadaną przez nas dokładnością.

Dowiedziemy powyższe twierdzenie w trochę słabszej wersji, tzn. bez tezy, że odpowiednia zbieżność zachodzi jednostajnie.

Twierdzenie 3.5. Jeżeli X’i,X2,.. .,X_n ~ F, to

P„(x)^F(x) .

Dowód. Dla ustalonego x zmienne losowe 1 (Xi < x) , 1 (X2 < x),... są nieza^ leżne i mają jednakowy, dwupunktowy rozkład. Przyjmują bowiem albo wartość 1 z prawdopodobieństwem F(x), albo wartość 0 z prawdopodobieństwem 1 — F{x). Ponadto, dla dowolnego m

E 1 (X_m < x) = 1 • Pr (1 (X_m < x) = 1) = F(x) .    (3.10)

Wtedy bezpośrednio z Mocnego prawa wielkich liczb (patrz twierdzenie 5.2) otrzymujemy tezę, gdyż dla ustalonego x

F„ (x) = i    1 (X, < x) E 1 (X_m < x) = F(x) .    (3.11)

□

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
stat Page resize 16 2.2 Podstawowe pojęcia Rozwiązanie: o Wariacje bez powtórzeń Liczba ciągów k e
stat Page resize 1.2 Podstawowe pojęcia przypadku takich cech nie jest możliwe wprowadzenie żadneg
stat Page resize Rozdział 3Statystyka matematyczna3.1 Podstawowe pojęcia Statystyka matematyczna o
stat Page resize 1 Podstawowe* miary stystyc/.m*. . . oraz odchylenie ćwiartkowe(1.12) Odchylenie
stat Page( resize 28 8.8 Pojęcie statystyki. Statystyka dostateczna Uwaga! Dokładniej rzecz biorąc,
71794 stat Page` resize 60 3.8 Analiza zjawisk dynamicznych Wystarczy teraz zatem dokonać podstawie
stat Page( resize 28 8.8 Pojęcie statystyki. Statystyka dostateczna Uwaga! Dokładniej rzecz biorąc,
73583 stat Page resize 6 1 Podstawowe* miary stystyc/.m*. . . Inną miarą przeciętną pozycyjną jest
stat Page resize Rozdział 1Statystyka opisowa1.1    Zadania statystyki opisowej Poc
stat Page resize S tatystyka opisowa •    Szereg szczegółowy - szereg statystyczny
stat Page resize S tatystyka opisowa z całej populacji (mamy więc do czynienia ze zbiorowością pró

więcej podobnych podstron