stat Page9 resize

Statystyka matematyczna

gdzie również ©i C ©, przy czym ©o n Oi = 0. Oznacz to, że Ho i są względem siebie konkurencyjne (albo - albo). Ponadto zazwyczaj ©i = © - ©o, co oznacza „jeśli Ho nie jest prawdziwe, to musisz wybrać Hi, czyli zanegowanie

Ho".

TYzeba pamiętać o tym, że hipotezy te nie są równoprawne. Bardziej jesteśmy zainteresowani Mo i będziemy się jej trzymać, o ile coś nas bardzo mocno nie przekona, że Ho nie jest prawdą. O tym „czymś” mówi właśnie zasada konstruowania testu statystycznego.

Ogólna zasada testowania hipotez naukowych jest następująca: odrzuć hipotezę, jeśli rezultaty doświadczeń przeczą przyjętej hipotezie. Ponieważ w statystyce mamy do czynienia z losowością zjawisk (zmiennymi losowymi), odrzucimy hipotezę zerową, jeśli przy założeniu jej prawdziwości otrzymane wyniki doświadczenia są bardzo mało prawdopodobne. Np. jeśli rzucamy monetą tysiąc razy, to będziemy skłonni wątpić w jej symetryczność jeśli wypadną same orły, choć przecież wypadnięcie samych orłów przy rzucie symetryczną monetą tysiąc razy jest możliwe - tylko, że bardzo mało prawdopodobne. Wybieramy zatem pewne zdarzenie K, takie, że przy założeniu prawdziwości hipotezy zerowej P(K) = a dla pewnego małego (bliskiego zera) a (np. a = 0,05). K nazywamy obszarem krytycznym, a a - poziomem istotności testu. Procedura taka nosi czasami nazwę testu zgodności Ponadto, w' celu podkreślenia, że prawdopodobieństwa obserwacji obliczamy przy założeniu prawdziwości hipotezy zerow^rej, będziemy używać oznaczenia Plub Pe₀ •

Sposobowi konstruowania testu przyjrzymy sie na przykładzie wzorowanym na [4].

Przykład 3.36. Rzuciliśmy monetą n = 1000 razy, przy czym otrzymaliśmy k = 458 orłów. Czy moneta jest symetryczna?

Rozwiązanie: Łatwo zauważyć, że wielokrotne rzuty monetą możemy opisać rozkładem dwumianowym. Zatem, jeśli przez X oznaczymy liczbę otrzymanych orłów, mamy X ~ Bin(n; p). Pytanie o symetrię monety jest tym samym co postawienie hipotezy zerowej o treści

Ho:p=\, (3.T7)

gdzie p jest prawdopodobieństwem otrzymania orła w^r pojedynczym rzucie.

Logicznym jest oczekiwanie (przy założeniu symetrii monety), że liczba wyrzuconych orłów powinna wynosić w przybliżeniu 500 (czyli n p). Z kolei „zbyt mała” lub „zbyt duża” liczba orłów będzie przesłanką do odrzucenia hipotezy o symetrii naszej monety. Ponieważ nie wiemy, co znaczy dokładnie „zbyt mała” lub „zbyt duża” (100? 200? 300? 800? 900?) liczba orłów', musimy odwołać się do statystyki. Mamy zatem następującą regułę:

• jeśli |X - 500| < c (dla pewnego c) to pozostajemy przy Ho (czyli liczba orłów jest „odpowiednio bliska” 500)

• jeśli |X — 500| > c to odrzucamy Ho (czyli liczba orłów jest albo „zbyt mała”, albo „zbyt duża”).

Pozostaje zatem wyznaczyć wartość c, która na zadanym poziomie istotności a będzie spełniać wspomnianą wcześniej regułę konstrukcji testu statystycznego, tzn.

P//₀(|X - 500| > c) = a ,

(3.78)