str168 (3)

168 3. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA

Rozwiązanie. Stosujemy przekształcenie Laplace’a do obu stron równania, jako funkcji zmiennej t. Mamy wtedy

(3) L[/(f) + 3y(0] = L(5/² + 3t+4).

Stosując wzór (1.6) do obu stron równania (3), mamy

(4) L[/(r)] + 3L[y(t)] = 5L(/²) + 3L(/) + 4L(l).

Zgodnie z wzorem (1.7) mamy

(5) L[/(0] = SL[y(0] —y(+0).

Uwzględniając związek (5) we wzorze (4) i biorąc pod uwagę warunek (2), mamy

(6) SL [y (t)] + 3L [y (!)] -1 = 5L (t²) + 3L (f) + 4L (1).

Z tablicy przekształceń, § 8, otrzymujemy

(7)

M*²) = Jj, = ^L(D = ^-.

Uwzględniając związki (7) we wzorze (6), mamy po przekształceniach

L(y) =

(8)

S³ + 4S² + 3S+10

(S+3)S³

Rozkładamy prawą stronę (8) na ułamki proste:

_ 10 1 1 1 37 1

10 1

27 S + 3'

Biorąc po obu stronach równania (9) odwrotne przekształcenie Laplace’a, mamy

Korzystając z tablicy przekształceń otrzymujemy

,, _ 5,2 J, , 3 7 _ 10-3/ f-3¹_9‘+27 27^e

Zadanie 5.2. Rozwiązać równanie

przy warunkach początkowych

Rozwiązanie. Stosujemy przekształcenia Laplace’a do obu stron równania (1), jako funkcji zmiennej t. Mamy wtedy

Stosując do lewej strony (3) wzór (1.6), mamy

(4) L(y"(0)-L(y'(0)—2L(y) = L(l).