DWANIA 5 6. WYZNACZANIE CAŁKI OGÓLNEJ RÓWNANIA RÓŻNICZKOWEGO RZĘDU n 187

in2f,

7

-1,

-}cost.

iowego liniowego

I) można oczywiście przyjąć, zynniki wielomianu H^/„_₁(S') e wzoru (5.7), można przyjąć ostać

[S+C₀.

wyznaczeniu całki ogólnej adku transformata Laplacc’a

M/W]-

otrzymujemy z lewej strony potęgę S^k zmiennej S, dla kwencji stopień wielomianu

Zadania przykładowe

Zadanie 6.1.' Znaleźć rozwiązanie ogólne równania różniczkowego •*<

(1)    y^w+3y"'+3y"+y' = e~*.

Rozwiązanie. Niech L(y) oznacza transformatę Laplace’a szukanego rozwiązania. W rozważanym przypadku transformata L(y) spełnia równanie (por. (6.2) dla n = 4):

(2)

gdzie

(3)

(4)

(5)

H₄(S)L(y) = W₃(S) + 4>(S),

<P(S) = L[e '] =

tf₄(S) = S⁴ + 3S³ + 3S² + S, W₃(S) = C₃S³ + C₂S² + C,S + C₀, 1

S +1

(por. wiersz 2 tabl. transformacji)

oraz gdzie C„, C,, C₂ i C₃ oznaczają stałe dowolne. Uwzględniając wzory (3), (4), (5) w równaniu (2), otrzymujemy po przekształceniach

(6)

My) =

C₃S³ + C₂S² + C_lS + C₀

S* + 3S³ + 3S² + S    ‘^r(S⁴ + 3S³ + 3S² + S)(S + l)'

Mianowniki występujące w prawej stronie wzoru (6) rozkładamy na czynniki. Mamy wtedy

(7)

MJ’) =

C₃S³ + C₂S² + C₁S + C₀    1

S(S + 1)³

S(S + 1)⁴

Następnie oba ułamki po prawej stronie (7) rozkładamy na ułamki proste. Mamy wtedy odpowiednio

A4

C₃S³ + C₂S² + C₁S + Co₌^_i+^_ł_₊

s(s+i)³    s’^rs+i^(s+i)²"^r(s+i)

gdzie współczynniki A,, A₂, A₃, A₄ przyjmujemy za stałe dowolne,

(8)

(9)

Bi B₂

b₃

+ :

b₄

B,

S(S+1)⁴ S ⁺(S + l)"^r(S + l)² (S + l)³ (S + l)

3 ’

Istotnym w rozkładzie (9) jest tylko dokładna wartość współczynnika B_s. Wartości bowiem na pozostałe współczynniki B,, B₂, B₃, B₄ mogą być włączone do odpowiednich stałych dowolnych A_lt A₂, A₃, A₄, występujących w prawej stronie wzoru (8). Biorąc to pod uwagę i uwzględniając równości (8) i (9) widzimy, że równość (7) może być napisana

w postaci

A, A₂ A₃ A₄ B_s

L(y) = M ₊ _ + —+ .-—+:

s ’^t's+i"^r(s+i)²"^r(s+i)³’^r(s+i)⁴’

gdzie A,, A₂, A₃, A₄ oznaczają stałe dowolne i gdzie B_s należy obliczyć. W celu wyznaczenia wartości B₅ obie strony równości (9) uwalniamy od ułamków. Mamy wtedy

(11)    1 = B,(S+1)⁴ + B₂S(S + 1)³ + B₃S(S+1)² + B₄S(S+1) + B₅S.

(10)