str286

286 5. ZARYS RACHUNKU TENSOROWEGO

Zadanie 3.4. Dane jest równanie ruchu x^k — x^k(t) we współrzędnych sferycznych

(1)

{? = 3/³ +1, 0 = 2t, ę = 3e~‘

gdzie g = x^l, 0 = x², <p = x³. Wyznaczyć wektor kontrawariantny prędkości V^k oraz kowariantny V_k we współrzędnych sferycznych.

Rozwiązanie. Składowe wektora kontrawariantnego prędkości V^k wynoszą:

Obecnie ze związku (3.10) mamy

K = a_knV'\

Obliczamy składowe wektora kowariantnego prędkości, przy czym korzystamy ze wzorów (2) oraz z wyprowadzonych zależności w zadaniu (3.1) określających składowe metrycznego tensora kowariantnego we współrzędnych sferycznych. W rezultacie otrzymujemy

V\ = a_lnVⁿ = V^k = 3t,

= a₂„V" = q²V² = 2(3t³ + l)²,

V₃ = a_3nV = q² sin² 0V³ = - 3 (3t³ +1)² e^-' sin² 21.

Zadanie 3.5. Dane są składowe wektora kowariantnego E_k natężenia pola elektrostatycznego we współrzędnych sferycznych x^r, gdzie x^l = q, x² = 0 i x³ = <p. Wyznaczyć składowe kontrawariantne E^k natężenia pola elektrostatycznego we współrzędnych sferycznych.

Rozwiązanie. Jeżeli przez <t> — <P(g,0,(p) oznaczymy potencjał rozważanego pola elektrostatycznego, to jak nam wiadomo, składowe wektora kowariantnego natężenia pola określane są wzorami

d<P

~86

(1)

tzn.

v<t>

d<p

Korzystając ze wzoru (3.8) oraz z wyznaczonych w zadaniu 3.1 składowych tensora metrycznego a_mn we współrzędnych sferycznych otrzymujemy składowe tensora sprzężonego a^mn

a^m" = 0 dla m # n