Str027 (2)
50 2. Cliła skoruwno I reszty kwadratowe
wielomian niepodzielny pr/cz żaden wielomian niższego stopnia, z wyjął-kiom stałych; wielomiany nicrozkładftlno odgrywają taką .samą rolę wśród wielomianów jak liczby pierwsze wśród liczb całkowitych. Pierścień wielomianów ma własność jednoznaczności rozkładu, co oznacza, że wielomian unormowany może być przedstawiony w jeden i tylko jeden sposób (z dokładnością do kolejności czynników) jako iloczyn unormowanych wielomianów nicrozkładalnych. (Wielomian nieunormowany może być jednoznacznie przedstawiony jako iloczyn stałej przez iloczyn powyższej postaci.)
4. Element a pewnego rozszerzenia K ciała F jest elementem algebraicznym nad F, jeśli jest pierwiastkiem pewnego wielomianu o współczynnikach z F. W takim przypadku istnieje jedyny unormowany wielomian nicrozkładalny taki, że ot jest jego pierwiastkiem (i każdy inny wielomian, którego pierwiastkiem jest ot, jest podzielny przez ten unormowany wielomian nierozkładal-ny). Jeśli ten unormowany wielomian nierozkładainy ma stopień d, to każdy element F(ot) (tzn. każde wyrażenie wymierne złożone z potęg a i elementów F) może w istocie być przedstawiony jako kombinacja liniowa potęg 1, ol, a2, ..., af~l. Zatem te potęgi a tworzą bazę F(a) nad F, a więc stopień rozszerzenia otrzymanego przez dołączenie a jest taki sam jak stopień tego unormowanego wielomianu nierozkładalnego, którego pierwiastkiem jest a. Każdy inny pierwiastek a' tego wielomianu nierozkładalnego jest pierwiastkiem sprzężonym z a nad ciałem F. Ciała F(a) i F(a') są izomorficzne, przy czym izomorfizm przeprowadza każde wyrażenie zawierające a na takie samo wyrażenie, w którym a zostało zastąpione przez a'. Słowo „izomorficzny'’ oznacza, że istnieje przekształcenie wzajemnie jednoznaczne zachowujące działania dodawania i mnożenia. W niektórych przypadkach ciała F(a) i F(a') są równe, otrzymujemy wtedy automorfizm ciała. Na przykład yjl ma jeden element sprzężony nad Q, mianowicie —\J2, i przekształcenie a + by]21—> a — by]2 jest automorfizmem ciała Q(>/2) (składającego się ze wszystkich liczb rzeczywistych postaci a + by]2 , gdzie a i b są liczbami wymiernymi). Jeżeli wszystkie pierwiastki sprzężone z a znajdują się w ciele F(a), to wtedy F(a) nazywamy rozszerzeniem normalnym ciała F.
5. Pochodną wielomianu definiujemy za pomocą wzoru (Xn)' = nXn~l (niejako granica, gdyż pojęcie granicy nie ma sensu w ciele F, chyba że jest w tym ciele określona odległość lub topologia). Wielomian f stopnia d może mieć pierwiastek re F, tzn. taki element ciała F, który po podstawieniu do wielomianu w miejsce zmiennej X daje wartość 0. Jeśli / ma pierwiastek r, to wielomian pierwszego stopnia X - r dzieli /; jeśli (X - r)m jest najwyższą potęgą X — r dzielącą wielomian fi to mówimy, że r jest pierwiastkiem m-krotnym (lub krotności m). Z twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozkładu wynika, że liczba wszystkich pierwiastków wielomianu/w ciele F, z uwzględnieniem ich krotności, nie może przekraczać d. Jeśli wielomian fe¥[X] ma pierwiastek wielokrotny r, to r jest pierwiastkiem największego wspólnego dzielnika fi jego pochodnej fi (por. ćwiczenie 9 w podrozdziale 1.2).
6. Dla dowolnego wielomianu f(X)fV\X] istnieje rozszerzenie K ciała F takie, że wielomian f(X) rozkłada się w nim na iloczyn czynników liniowych (lub równoważnie, ma d pierwiastków w ciele /f, z uwzględnieniem krotności, gdzie d jest stopniem tego wielomianu), i takie, źc K jest najmniejszym rozszerzeniem ciała F zawierającym te pierwiastki. Ciało K nazywamy ciałem rozkładu wielomianu / Ciało rozkładu jest wyznaczone jednoznacznie z dokładnością do izomorfizmu, tzn. że jeśli mamy drugie ciało K' o takich samych własnościach, to musi istnieć przekształcenie wzajemnie jednoznaczne K ^ K' zachowujące dodawanie i mnożenie. Na przykład Q(V^) jest ciałem rozkładu wielomianu f(X) = X2 — 2, a żeby otrzymać ciało rozkładu wielomianu f(X) = X*-2 musimy dołączyć do Q zarówno ^2 jak i >/-3 .
7. Jeśli wielokrotne dodawanie jedynki do siebie w ciele F nigdy nie da zera, to mówimy, że ciało F ma charakterystykę zero; w takim przypadku ciało F zawiera kopię ciała liczb wymiernych. W przeciwnym razie istnieje taka liczba pierwsza /?, że suma 1 + 1 + ... + 1 (p razy) jest równa 0 i liczbę p nazywamy charakterystyką ciała F. W tym przypadku dało F zawiera kopię dała Z/pZ (por. wniosek 1 do twierdzenia 1.3.1), które nazywamy jego podciąłem prostym.
2.1. Ciała skończone
Niech Fq oznacza dało mające skończenie wiele, mianowicie q elementów. Oczywiście ciało skończone nie może mieć charakterystyki zero; niech więc p będzie charakterystyką dała Fq. Wtedy dało Fq zawiera dało proste Fp = Z//?Z, a więc jest przestrzenią liniową - oczywiśde skończenie wymiarową - nad Fp. Niech /oznacza wymiar tego dała jako przestrzeni liniowej nad Fp. Ponieważ ustalenie bazy pozwala nam określić wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość między elementami /-wymiarowej przestrzeni liniowej a wszystkimi ciągami długośd/elementów ciała Fp, więc stąd wynika, że ciało Fq musi mieć pr elementów. Zatem q jest potęgą charakterystyki p.
Wkrótce zobaczymy, że dla każdej potęgi liczby pierwszej q = istnieje ciało mające q elementów oraz to dało jest wyznaczone jednoznacznie (z dokładnością do izomorfizmu).
Najpierw jednak zbadamy rząd elementów zbioru FJ, niezerowych elementów naszego ciała skończonego. Przez „rząd” niezerowego elementu rozumiemy najmniejszy dodatni wykładnik takiej potęgi tego elementu, która jest równa 1.
Istnienie generatorów grup multyplikatywnych ciał skończonych. Istnieje q — 1 niezerowych elementów i zgodnie z definicją ciała tworzą one grupę obolową ze względu na mnożenie. To oznacza, że iloczyn dwóch elementów niezerowych jest różny od zera, zachodzą prawa przemienności i łączności, istnieje
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
MATEMATYKA.II.Funkcja; liniowa, kwadratowa, wielomianowa, wymierna. 1. Liczby Xj X
FUNKCJE LINIOWE, KWADRATOWE I WIELOMIANOWE • az z opisem zadań, z jakimi
342 343 36,1 50.6 Przekroje prętów poprzecznych kwadratowy
34. Dany jest wielomian trzeciego stopnia o współczynniku 1 przy najwyższej potędz
przewodnikPoPakiecieR4 120 pazuRrry Wielomiany Legendre’a stopnia 0 — - stopnia 1 • • • stopnia 2 .
47631 img006 (65) Pm( ) rząd A algebraiczny wielomian potęgowy stopnia m rząd macierzy A S„() Srh()
przewodnikPoPakiecieR4 120 pazuRrry Wielomiany Legendre’a stopnia 0 — - stopnia 1 • • • stopnia 2 .
Przykład wielomianem 2-go stopnia w przedziale1. Dokonać aproksymacji średniokwadratowei funkcji y
471 2 47! Rozdział 4 (*-0, 1,gdyż wtedy Ujp)=0 dla wszystkich wielomianów n-tego stopnia, jest
5.2. Pierwiastki wielomianu Wielomian n-tego stopnia jest funkcją jednej zmiennej jednoznacznie
74935 przewodnikPoPakiecieR4 120 pazuRrry Wielomiany Legendre’a stopnia 0 — - stopnia 1 • • • stopn
CCF20090601 003 (nc} 5. Dokonać interpolacji funkcji /(x) = 3-5sin — w przedziale (0, 6) wielomianem
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że otrzymamy wielomian jest stopnia drugiego. 95.
Zadanie 8: Obliczyć wielomian trzeciego stopnia będący trajektorią przejścia między konfiguracją
więcej podobnych podstron