MATEMATYKA154
298 VI ('iągi i szeregi funkcyjne
Jednostajna zbieżność ciągu funkcyjnego (fn) na zbiorze X oznacza, że wykresy wszystkich funkcji fn(x) dla n > K położone są w pasie f(x)-e<y <f(x) t-e dla xeX, (rys 1.1).
Zwróćmy uwagę, że zbieżność punktowa ciągu funkcji ciągłych mc zapewnia ciągłości funkcji granicznej. Ilustruje to przykład 1.1 b):
PRZYKŁAD 1.1
a) Rozważmy ciąg fUnkcyjny (x/n),xe<0,l>. Dla każdego ustalonego X€<0,1> mamy lim(x/n)»0. Zatem granicą tego ciągu na tym przedziale jest funkcja stała f(x) = 0. Jest to ciąg jednostajnie zbieżny na tym przedziale, (zob. rys. 1.2). Ogólniej: ciąg (x/n) jest jednostajnie zbieżny (a więc i punktowo zbieżny) do funkcji f(x) = 0 na dowolnym przedzjalc domkniętym < a,b >.
b) Ciąg (xn) dla x e< 0,1 > jest zbieżny punktowo do funkcji
dla x G< 0, l), dla x =1.
Rvs 1.3
Nie jest to ciąg jednostajnie zbieżny na przydziale < 0,1 > (por rys 1.3)
Ogólniej.
lim xn =
n-**1
nie istnieje 0 1
+00
dla xS-l, dla -1<x<1, dla x= 1,
dla x>l.
TWIERDZENIE 1.1 (o ciągłości funkcji granicznej). Jeżeli ciąg funkcyjny (fn) funkcji ciągłych na zbiorze X jest jednostajnie zbieżny na tym zbiorze do funkcji granicznej f, to f jest funkcją ciągłą na tym zbiorze.
WNIOSEK. Jeżeli funkcja graniczna ciągu funkcji ciągłych na zbiorze X nic jest funkcją ciągłą na tym zbiorze, to ciąg len nie jest jednostajnie zbieżny na tym zbiorze.
Na przykład ciąg ( j-1—) funkcji ciągłych na przedziale <0,+») jest zbieżny
do funkcji f(x)~ ^ f unkcja f nie jest funkcją ciągłą na przedziale <0,+oo),
zatem ciąg ten nic jest zbieżny jednostajnie na tym przedziale.
ZADANIA DO ROZWIĄZANIA.
1. Naszkicować wykresy kilku pierwszych wyrazów ciągu funkcyjnego:
|
a)(x") |
dla |x|<a, 0<a<l, |
b) (n+7x) |
dla xeR, |
|
c><^x) |
dla |x|<a. |
d)( n x) |
dla x<=R. |
|
c, (Sil* |
dla |xj£a, |
0(e M) |
dla x > 0, |
|
g) (em) |
dla x > 0, |
h) (e ax) |
dla x£a>0, |
|
0 (e") |
dla |x|< a, |
j) (^) |
dla |.\|£ic. |
2. Znaleźć funkcję graniczną f ciągów z zad 1. Czy funkcja graniczna jest funkcją ciągłą? Czy ciąg funkcyjny jest zbieżny jednostajnie7
Odpowiedzi
2 o) f(x)*0, lak, lak. b) f(x)=x, tak, nie, c) f(x)-x, tak. tak. d) f(x)»x. lak. nie, e) f(x)»x.tuk. lak, f) f(x)*0,tak,nie, g) f(x)— ^ nie, nie,
h) f(x)»0, tak, tak, i) f(x)»l.Utk. tak, j) f(x)*=<), lak. tak
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
62533 MATEMATYKA156 302 VI. Ciągi i szeregi funkcyjne Warunek wystarczający jednostajnej zbieżności
MATEMATYKA159 308 VI. Ciqgi i szeregi funkcyjne liml^-Jag, n-»« an to promień zbieżności tego szereg
MATEMATYKA165 320 VI. Ciągi i szeregi funkcyjne 5. Znaleźć przedziały, w których zbieżny jest
MATEMATYKA160 310 VI Ciągi i szeregi funkcyjne obliczenia sumy pewnych szeregów liczbowych. Zilustru
MATEMATYKA161 312 VI Ciągi i szeregi funkcyjne Przypomnijmy, że, przy podanych założeniach, dla każd
MATEMATYKA171 332 VI Ciągi i szeregi funkcyjne Stąd dla x€<-x,x> otrzymujemy n O 21x,= *+^2^«
więcej podobnych podstron