matma1

i

2. a) v = ■— [e²* — e~* (cos y^r3x + l/"3 sin j/3:c)]; o

b)    y — c* -f cos x — 2;

c)    y = 2,3 4- e-*    cos 3x + sin 3.vj;

d)    y =    [e* — e”²* (3x + 1)];

e) y = e* (cos x -f siu x ■

20.7. RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE LINIOWE NIEJEDNORODNE RZĘDU DRUGIEGO I WYŻSZYCH O WSPÓŁCZYNNIKACH STAŁYCH

Równanie postaci:

(7.1)    -f- a_L y^(jl~^l) + a_z y^(jl~^ 4- ... + a_n-1 / 4- a_n y = f(x),

gdzie współczynniki a^{k =■!,.. .,n) są stałe, rzeczywiste oraz f(x) jest funkcją ciągłą w pewnym przedziale l, nazywamy równaniem różniczkowym liniowym niejednorodnym n-tego rzędu o współczynnikach stałych.

Jeżeli f(x) = 0, to równanie (7.1) przyjmuje postać:

(7.2)    y⁽ⁿ⁾ + a_L y<*-*> + a₂ y⁽"-²⁾ 4- ... 4- a_n-\ y' 4- a_n y — 0.

Równanie (7.2) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym, odpowiadającym równaniu niejednorodnemu (7.1). Sposób rozwiązania równania niejednorodnego (7.1), w szczególności równania rzędu drugiego:

(7.1')    y" 4- 04/ + a₂y =/(*)

wynika z następującego twierdzenia:

Twierdzenie 1. Całka ogólna równania liniowego niejednorodnego (7.1) jest sumą dwu całek:

1° całki ogólnej równania jednorodnego (7.2) odpowiadającego równaniu (7.1) (por. 20.6),

2° całki szczególnej równania niejednorodnego (7.1).

Podamy teraz dwie metody znalezienia całki szczególnej równania niejednorodnego (7-1): _<

Metoda pierwsza (przewidywań). Stosujemy tę metodę wtedy, gdy potrafimy przewidzieć postać całki szczególnej równania liniowego niejednorodnego (7.1). Przypadki, dla których możemy z łatwością odgadnąć postać całki szczególnej, zależą od prawej strony f(x) równania (7.1) i są następujące: ^r“ 1° Jeżeli prawa strona f(x) równania (7.1) jest wielomianem n-tego stopniaP_n (*), czyli:

f(x) = b_nxf‘ 4-    1 xⁿ~¹ 4- •.. 4* b_L x 4- b₀,

to całka szczególna y_x{x) równania niejednorodnego (7.1) jest postaci:

Q„ (x), gdy równanie charakterystyczne dla równania jednorodnego (7.2) nie posiada pierwiastka równego zeru,

Q„ (x), gdy równanie charakterystyczne dla równania jednorodnego (7.2) posiada pierwiastek równy zeru o krotności k ^ 1,

gdzie: Q_;1 (x) oznacza wielomian n-go stopnia, którego współczynniki należy wyznaczyć. 2° Jeżeli prawa strona f(x) równania (7.1) jest postaci:

gdzie: P„ (x) jest wielomianem n-tego stopnia (n ^ 0), to całka szczególna y_L(x) równania niejednorodnego (7.1) jest postaci:

e^w Q_n(x), gdy a nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego dla równania jednorodnego (7.2),

x^k&^veQ_n(x), gdy a jest pierwiastkiem o krotności k ^ 1 równania charakterystycznego dla równania jednorodnego (7.2),

gdzie: Q„(x) oznacza wielomian n-go stopnia, którego współczynniki należy wyznaczyć. 3° Jeżeli prawa strona f(x) równania (7.1) jest postaci:

f(x) = a cos px + b sin fix,

to całka szczególna y_L(x) równania niejednorodnego (7.1) jest postaci:

( a, cos fix -f- b_L sin px, gdy liczba zespolona z — pi nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego dla równania jednoro-|    dnego (7.2),

di w \ x^k(a_l cos ,6x -f b_L sin/dc), gdy liczba zespolona z = pi jest pierwiastkiem o krotności k ^ 1 równania charakterystycznego dla równania jednorodnego (7.2),

gdzie współczynniki a_v i b_L należy wyznaczyć.

4° Jeżeli prawa strona f(x) równania (7.1) jest postaci:

f(x) — e^ (a cos Px -f b sin px)_r

to całka szczególna y_A(x) równania niejednorodnego (7.1) jest postaci:

( e™ (a_x cos Px^Jrb_L sin px), gdy liczba zespolona z = a -f pi nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego dla równania jedncro-_{(x) =} j ₍    dnego (7.2),

'¹ ^ '    | x^k Q^ax (acos Px -i- sin px), gdy liczba zespolona z = a -}- pi jest pier

wiastkiem krotności k 1 równania charakterystycznego dia równania jednorodnego (7.2),

gdzie współczynniki a_L i b_x należy wyznaczyć.

5° Jeżeli prawa strona f(x) równania (7.1) jest postaci:

/(*) = a e^Łt,

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
matma1 1 2. a) y = 4-[e2* — e~* (cosj/3* + j/3 sini/^jc)]; 6 b)    = c* + cos x — 2;
skan0028 70 y s Ci (sin ® + cos®) 4- ^(sin® - cos®) -I- Odp.: 5 z = Ci cos® + C% sin® 4- -e2® 4-
623 $ 3. Wykorzystanie zbieżności jednostajnej całek 5) (a) Obliczyć całkę J * J e~*2 cos 2bx
str028 (5) 28 1. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ (4.10) e2 + 2*!ti _ gZ ^ (4.11) sin (z
5) lim 4) lim(e2* + .v) x —*0 7) lim tg* ln(sin*) X~ X~*2 2e + ln.v 3‘ +*2 8) lim^—arctgrj 6)
52937 str028 (5) 28 1. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ (4.10) e2 + 2*!ti _ gZ ^ (4.11) s
Granica funkcji GRANICA FUNKCJI ex -e~x 1. lim *->o sin x ~ .. In jc 2. hm e*~* -esinx 3. lim x
skan0026 00 07. y ■Ci«rB + ć72S« ‘® + 4*e“!B Qln3®-ln2®+ 2In®-2^ cos 2x»8. y - Ci cosi + Ci sin* - 0
img119 cos x -f i sin o- f COS ar = ±(eł* + e-«) [sina- =    - e~ix)
e**sin /3c, xe‘* sin/*,..., xk~leOK sin e‘* cosP<, xe‘M cos/3i.....xk~le‘* cos/3< są
074(1) 350. y = e~x+e x 352. y = xre~x 354. y — sin jc+cos x 351. y = 3.v-)-tg a: 355*. y
Strona0128 128 Wprowadźmy następujące oznaczenia: Cx ~AU sin C2- Al2 sin ę2
Mu = Me~u (cos Lr + sin Lx) (7.122a) MK=—e~Lx%mljc R L Po zsumowaniu lewostronnego i prawostronnego
Dane nie podane na rysunku: e1(t) = I2J2 cos lOOOt V, e2(t) = sin lOOOt V, e3(t) = 8^2 cos lOOO
458 XII. Ciągi i szeregi funkcyjne lecz także całki j P (x) e“* cos bxdx, J P (*) e“x sin bx dx [271

więcej podobnych podstron