mat1

56 I. WIADOMOŚCI TEORETYCZNE. ZADANIA. PRZYKŁADY ROZWIĄZAŃ

Korzystając z (1.4.22), (1.4.24) oraz (1.4.25) możemy zapisać równość (1.4.21) następująco

/sin x

-dx = ni-I_r-I_R (1.4.27)

Jeżeli r -* 0+, to wobec (1.4.23) J_r -*■ 0, więc prawa strona równości (1.4.27) dąży do ni I_R. Do tej samej granicy dąży zatem lewa strona tej równości, czyli

C sin* , . .

21 j ~^—dx = tti-Tr (1.4.28)

Jeżeli R-y + co, to wobec (1.4.26) I_R —► 0, więc prawa strona równości (1.4.28) dąży do ni. Stąd

+ 00 +00

f sinx . . . P sin a: 7t

2i J —-—dx = ni, więc ostatecznie J —-—dx = —

o o

Wnioski. Z parzystości funkcji podcałkowej wynika, że

+ 00

sin x

dx = n

(1.4.29)

Ponadto, podstawiając u = ax, otrzymujemy dla każdego a e R — {0}

•Y 00

dx = n sgn a

/sin ax

Wzór ten jest także prawdziwy dla a = 0. Można z niego wyprowadzić wiele interesujących wniosków, na przykład

+ 00

. r sinajc —sinóx ,

-dx = n (sgn a - sgn b)

J X

dla każdych a, be R. Zachęcam Czytelnika do zaznaczenia w układzie współrzędnych Oab wartości funkcji (a, b) -> u = /„_jfc. Czy jest to funkcja ograniczona? Czy jest ciągła?

Uwaga. Całka

+ oo

f -£2Ł2-dx

J X

jest rozbieżna. Wynika to (dlaczego?) z następującego rachunku: niech 0 < e < —

f S2ŁJL_dx> f dx_ ₌ ^ fmJL-in _e)_₊₍

J x J 2x 2 \ 3 / _t-.₀ +

Istnieje natomiast część główna całki w sensie Cauchy’ego (vałeur principale de Cauchy — skrót v.p.). Ola każdego a > 0 mamy bowiem (0 < e < a < R)

v.p. T ^-dx = lim ( f *-«“*_dx+ f-™*-dx) +

J X « ,-,0+ \ J X J X /

- co -a I

+ lim ( f -^c°* -dx+ f -^cos * dx) = lim 0+ lim 0 = 0

R-. + 0O \_J_r X J X ] Z-.0 + R- + oo

ponieważ funkcja podcałkowa jest nieparzysta. Z równości (1.4.29) wynika oczywiście, że ^- dx = lim f dx = k

X « *-, + *, J_r X

Zadania do samodzielnego rozwiązania

6. Obliczyć całkę

'•■•-/mTO 6u <^uj0>

— CO

metodą residuów oraz metodą klasyczną opartą na definicji całki niewłaściwej. Wyznaczyć i narysować zbiór wszystkich par (a, b), 0 < a < b, dla których spełniona jest nierówność I_{a b} < n.

7. Obliczyć całkę 2*

/ = J e^{sln x} dx

a) metodą residuów, b) korzystając z wartości całki (1.4.17).

8. Obliczyć całkę

sin z

|z + t| = l (1+z²)

9. Obliczyć całki

a) I_t = z e" ctg z dz, b) I₂ = <£ z e¹"¹ ctg z dz

|z| = 4 1*1=4

gdzie n e N. Udowodnić, że dla każdego n e N |/j| < 2tc² e"”

10. Obliczyć całkę

I - f cos (sin x) dx o

mat1

mat1

f S2ŁJLdx> f dx_ = ^ fmJL-in e)_+(

'•■•-/mTO 6u <uj0>

f S2ŁJL_dx> f dx_ ₌ ^ fmJL-in _e)_₊₍

'•■•-/mTO 6u <^uj0>