P1111253

12 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona)

III. Jeśli

J f(ax+b) dx *= — F (ax+6)+C'. Rzeczywiście, założona równość jest równoważna z następującą:

-^F(o = no-/(o.

Wówczas jednak

-3— F(tix+6) F'(ax+b)a = af(ax+b) , ax

a więc

(ax+b) =/(ux+6),

dx I a

tzn. F(ax+b) jest rzeczywiście funkcją pierwotną funkcji /(ax+6). a

Szczególnie często spotyka się przypadki, gdy a = I lub 6 = 0:

J f(x+b)dx = F(x+ó)+Ci,

Jf(ax)dx « ~P(x)+C₂.

Reguła III jest bardzo szczególnym przypadkiem reguły zamiany zmiennych w całce nieoznaczonej, o czym będzie mowa dalej [268].

267. Przykłady

I) J (6x*—3x+5) dx.

Korzystając z reguł II i I oraz wzorów 3,2 otrzymujemy

/(6x»-3x+5)d* - /6x²dx— f3xdx+ f 5dx = 6/x²</*-3 jxdx+ifdx = 2x»--|x^a+5x+C.

2) Łatwo jest też scałkować wielomian w postaci ogólnej

/iflo *■-*+ ...+0.-J x+ajdx — a₀f x"dx+a_l $jf-^ldx+ ... +*■"* /* dx+a_m J dx

_ BHH "!-*•+ ... + -gęi-^+^+C-

n+1 n ²

3) /(2x’+l)*dx - /- j-x⁷+ jx⁹+²xⁱ+x+C. (przykła

4) f(l + /x fdx- J(l+4)fx+6x+4x^x+x¹)dx -

au;3.²>

- jf </x+4 J x^tl2dx+6f x dx+4 / x^2,2dx+ / x²dx -

- ^4. ix»/*-f3x*+-jX^,/J+yX^, + C.

~-J/xdx+ y fdx- J-y- - Jx-²dx- y**+ y Je—Inx+ Ł _+C. (1I,I;3,2,4>

€) f rjęyF-ł^^-

yT ■* |/x ^J

«4^^,3/6-f Je^,#‘+C. (11.3)

Podamy kilka przykładów na zastosowanie reguły III:

$ (a) J^-=ln|x-a|+C, (III ;4)

®fni

(x—dfdx

U-df ' ' -*+l

--7T-TT7-+ ^C (*>*)•

8) (a) f sin mx dx —--cos /nx-ł- C (m ^ 0),

^J m

(b) f cos mx dx =■ sin n»x+ C (/« 0),

J ni

9) (a) /

^a²-x² °^J

^ł-e-³*+C.

</x

i/‘-W

arcsin—I-C (a>0), a

Cb) f-^---- f

^K * J a²+x² a² J

1 +

(f) °

¹ arctg—+ C. a

(in;3)

(III;8)

(HI;9)

mi;7)

(Hl;6)

011:5)

Przykłady na wszystkie reguły:

(11,111;7,2)

(10) J J£z!}i£!l±H dx - J (e^-^+l-e-*) dx = y e^łx-e*-|-.x+tf-*+C.

dx.

gx-hó

cx-\-d

Dzieląc licznik przez mianownik możemy zapisać wyrażenia podcałkowe w postaci

a j bc—ad . 1

c c cx+d

Stąd szukana całka równa sią

±_x+*£z£L)_n\_cx+d\+C. (11.1.111:2,4)

c c¹

(12) Lfa = r(2x-3+—x*-5x+6ln|x-ł-I| + C,

J x+l J \ Jc+l/

P1111253

P1111253

-^F(o = no-/(o.

Jf(ax)dx « ~P(x)+C2.

Jf(ax)dx « ~P(x)+C₂.