P1111261

28 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona)

Zastosujemy teraz podstawienie

dx — dt

x⁷ + px + q — t²+a², Mx+N — Mt +

W przypadku III otrzymujemy

T Mx+N , ę Mt+(N j-Mp) M p 2t dt . /_xr Mp\f dt

f x*+_PxT7^dxmJ-W+*-⁺ JJjT+p

*-4^ln (/² + o²) + — (N— *ŹŁ\sltc tg-L+C Z ^fl \ 2 / a

lub wracając do x i podstawiając zamiast a jego wartość

r Mx+N M , , , . . _x . 2N-Mp 2x4-pl—

•px-¥q 2 ^4 q—p²

W przypadku IV to samo podstawienie daje

V^a<i-p²

i —---dx = —In (x² + px + q)+ arc tg ■ ; -■■-.= 4-C.

j x*+_t— * ^- -

(1)

Mx + N

Mt+(N—5- Mp) _

/jm T\/> — T i

(f²+n²r

Af r 2/dl , /_w Mp \ r dt

TJ JF^r+a^Tr ⁺ l" 2~yj (/+«>-

Pierwsza całka po prawej stronie równości może być łatwo obliczona przez podstawienie i² Ą-a² — u, 2t dt = du

(2)

p 2i dt _ C du

J (t²+a²r “J “S⁵"

m — 1

4-C * —

m — I (f ^, + a²r-¹

+ c.

Natomiast druga po prawej stronie przy dowolnym m może być obliczona zc wzoru re>

2x4 p ]

dukcyjnego (6) 271. Pozostaje więc tylko podstawić z powrotem w wyniku / - — aby powrócić do zmiennej x.

Tym wyczerpuje się zagadnienie całkowania ułamków prostych.

274. Rozkład ułamków właściwych na ułamki proste. Zatrzymamy się teraz na pewnym twierdzeniu z‘algebry, które ma jednak zasadnicze znaczenie w teorii całkowania ułamków wymiernych.

Każdy ułamek właściwy

POć)

“5(*F

motnu przedstawić w postaci sumy skończonej liczby ułamków prostych.

Ten rozkład ułamka właściwego na ułamki proste związany jest ściśle z rozkładem mianownika ułamka Q (x) na czynniki pierwsze. Jak wiadomo każdy wielomian o współ* czynnikach rzeczywistych rozkłada się jednoznacznie na czynniki rzeczywiste postaci x—a i x² +px+q, przy czym zakłada się, że czynniki stopnia drugiego nie mają pierwiastków rzeczywistych, a więc nie rozkładają się z kolei na czynniki liniowe rzeczywiste łącząc ze sobą jednakowe czynniki, jeśli takowe są, i przyjmując dla uproszczenia, że współczynnik przy najwyższej potędze wielomianu Q (x) jest równy jedności, można zapisać schematycznie rozkład tego wielomianu w postaci

(3) Q(x) = (x -aY ...(x² + px+qT •

gdzie k,..., m,... są liczbami naturalnymi.

Zauważmy, że jeśli stopień wielomianu Q jest n. to oczywiście suma wszystkich wykładników k dodana do sumy wszystkich wykładników m da dokładnie n:

(4) £*+2£m«n.

Dla dowodu twierdzenia o rozkładzie na ułamki proste udowodnimy najpierw następujące dwa twierdzenia pomocnicze.

1° Rozpatrzmy jakikolwiek czynnik liniowy x—a występujący w tozkładzie mianownika z wykładnikiem k > 1. Mamy

ex$~(x-*fQt(x)*

gdzie wielomian Q\ nie dzieli się już przez x—a. Wówczas dany ułamek właściwy

P(x) _ P{x)

Q(x) " S~oj*Qt(x)

może być przedstawiony w postaci sumy ułamków właściwych

^A , +_

z których pierwszy Jest ułamkiem prostym, a mianownik drugiego otwiera czynnik * a w potędze niższej niż poprzednio.

Aby to udowodnić, wystarczy wybrać liczbę A i wielomian P»(.r) tak. by spełniona była tożsamość

P{x)-AQ_t{x)m{x-a) P_t{x).

Określamy najpierw A lak, by lewa strona dzieliła \ię pttxi Na mocy znanego

twierdzenia Bezouta wystarczy w tym celu, by dla ,i » a lewa struna była równa Otrzymujemy stąd

i* ja)

^ĄmoM

(^ł) Litery P%Q t rozmaitymi wskaźnikami ounkmM tu wwłonuany. a l»wy i. M. s Ntuli

P1111261

P1111261

(f2+n2r

TJ JFr+aTr + l" 2~yj (/*+«*>-

J (t2+a2r “J “S5"

+ c.

POć)

ĄmoM

(f²+n²r

TJ JF^r+a^Tr ⁺ l" 2~yj (/+«>-

J (t²+a²r “J “S⁵"

^ĄmoM