ScanImage05
; Przedmowa
Przy pisaniu tej książki podano wiele krytycznych uwag i sugestii. Jestem szczególnie wdzięczny Richardowi Palais, Hugonowi Rossiemu, Robertowi Seeley’owi i Charlesowi Stenardowi za ich liczne pomocne komentarze.
Wykorzystałem to wydanie jako okazję do poprawienia wielu błędów drukarskich i pomniejszych pomyłek wskazanych mi przez pobłażliwych czytelników. Ponadto całkowicie zrewidowano i poprawiono materiał następujący po twierdzeniu 3.11. Inne ważne zmiany, których nie można było włączyć do tekstu bez nadmiernych poprawek, są wyliczone w dodatku na końcu książki (l).
Michaeł Spivak
Waltham, Massachusetts Marzec 1968
(') W tłumaczeniu włączono do tekstu wszystkie uwagi z dodatku z wyjątkiem jednej, zamieszczonej jako przypis autorski na s. 54 (przyp. tłum.).
Funkcje na przestrzeni euklidesowej
Norma i iloczyn skalarny
Przestrzeń euklidesową n-wymiarową M" definiuje się jako zbiór wszystkich ciągów n-elementowych (x\..., xn) liczb rzeczywistych x‘ (jednoelementowy ciąg liczbowy jest po prostu liczbą i R1 = R jest zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych). Element z R" często nazywamy punktem przestrzeni R", a R1, IR2, M3 nazywamy odpowiednio prostą, płaszczyzną, przestrzenią. Jeżeli x oznacza element z R", to x jest w-elementowym ciągiem liczb, z których i-tą oznacza się przez x‘; tak więc piszemy
x = (x\ ..., xn).
Często punkt przestrzeni R" nazywamy także wektorem w R", ponieważ R" z działaniami x + y = (x* + y1,..., xn + yn) oraz ax = (axl,..., axn) jest przestrzenią wektorową (nad ciałem liczb rzeczywistych, wymiaru ń). W tej przestrzeni wektorowej dane jest pojęcie długości wektora x, która nazywana jest zazwyczaj normą |x| wektora x i określona wzorem
\x\ -■ y/(x1)2 + . . . + (x")2.
Jeżeli n = 1, to \x\ jest zwykłą wartością bezwzględną liczby x. Bardzo ważny jest związek między normą a strukturą przestrzeni wektorowej na R".
1.1. TWIERDZENIE. Jeżeli x,y e R" i a € R", to
(1) |x| > 0, o |r | — 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = 0.
(2) I Y^=x x‘y‘ I - |jc||3»|; równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy x i y są liniowo zależne.
(3) \x + y\ < |r| + |y|.
(4) \ax\ = |a||x|.
Dowód. (1) pozostawia się czytelnikowi.
(2) Jeżeli x i y są liniowo zależne, to równość oczywiście zachodzi. Jeżeli nie są, to Xy — x 0 dla wszystkich X 6 R, więc
0 < \ky — x|2 = - x')2 = X2 ^(y1)2 - 2X ]Tx‘y + ^(x'')2.
ł = l i = 1 i=[ i = 1
Dlatego trójmian kwadratowy względem X stojący po prawej stronie nie ma pierwiastków rzeczywistych i jego wyróżnik musi być ujemny. Tak więc
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
84616 Scan0011 Podziękowania Przy pisaniu tej książki pomagało mi wiele osób. Chri.stopb.er Dy-dyk j
strona (282) został drganiom i cyklom. Przy pisaniu tej książki korzystano z konsultacji profesjonal
mowisz masz (189) 153 ZRÓB TO TERAZ Cieszyłem się ze swojej podróży podczas pisania tej książki i ni
P1030494 (3) H TABULA GRATULATOR1A Spis moich zobowiązań - zaciągniętych w trakcie pisania tej książ
CIMG0008 PVzedmowa Dużą rolę przy powstawaniu tej książki odegrał przypadek. Trzynaście lat temu Sue
Przedmowa Pomysł napisania tej książki powstał na początku 2004 roku, gdy po 14-letniej przygodzie z
choroszy 7 PRZEDMOWA Do napisania tej książki skłoniła mnie niedostateczna liczba podręczników z dzi
IMGP0632 Wiele krytycznych uwag do realizowanego przed laty programu melioracji, wymagało przeprowad
Przedmowa Sytuacja sprzed kilku lat (2007), gdy pisałem pierwowzór tej książki - Wprowadzenie do inf
uzdrowienie3 EPILOGOPOWIEŚĆ LINDY Podczas asystowania przy pisaniu i redagowaniu tej ksiąź ki, dośw
27308 Obraz (2287) 14 PSYCHOLOGIA MOTYWACJI ( W przygotowaniu tej książki uczestniczyło pośrednio i
Przedmowa Motywacją do napisania tej książki były prowadzone przez nas wykłady z termodynamiki w Szk
więcej podobnych podstron