Skan3

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Der rechts stehende Limes ist der Grenzwert der Obersummen (Fig. 3 ). Da die stetige Funktion Riemann -integrierbar ist, dann existiert der Grenzwert und stimmt mit denen der Unter - und Oberzwischensummen uberein d.h

Durch Umformung und Einfiihrung der Variablen x erhalt man

(«-*)/* = | /(*)</ ^x

a

Man kann fur eine iiber <a\b> stetige Funktion f(x) zeigen, dass f_m einer der Funktionswerte ist (Fig. 5

/(<?))■

Geometrische Deutung des Mittelwerts: Der Inhalt der schraffierten Flachę ist dem Flacheninhalt des Rechtecks mit den Seitenlangen b - a und /(£) gleich.

Satz. Sei f eine auf <a \b> stetige Funktion. Dann gibt es in <a \ b> eine Stelle derart, dass

/(£)= r— f /(*) dx

b-a ^J

Der Funktionswert f(£) heiBt Mittelwert

Beispiel. Bei Wechselstromschaltungen kommt es vor, dass die Spannung U und Stromstarke I Phasenverschoben um (p sind

U - U₀ sin co t , / = I₀ sin (p) t + ę)

Die Momentanleistung ist dabei

P = U • / - U₀ /₀ sin o t> sin(^y t + ę)

eine zeiabhangige Funktion mit der kleinsten Periode T = —.

co

Es wird der Mittelwert der Leistung fiir die kleinste Periode berechnet d.h.

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