Untitled 17
I. Teoria granic
[35
Aby znaleźć tę granicę, przejdźmy do granicy w napisanej powyżej równości; ponieważ xn+ Ł z dokładnością do pierwszego wyrazu przyjmuje te same Wartości i w tej samej kolejności co ciąg {r„}, więc ma tę samą granicę a, i otrzymujemy
a —a-0,
skąd <z = 0, i
2) Przyjmując znowu c>0 określamy teraz ciąg {xn} następująco:
*1=\/C> X2=y/c + y/Ć, X3 =\/ffVc + v'Ć’
i ogólnie
xn=\jc-ry/c + ... + y/ć.
pierwiastków
Tak więc arn + 1 otrzymujemy z xn według wzoru
X„+i=yJ,C+X„.
Jasne jest, że ciąg x„ monotonicznie rośnie. Jednocześnie jest to ciąg ograniczony z góry, np. przez liczbę -y/c + 1. Rzeczywiście xi = \//c jest mniejsze niż ta liczba; jeśli przyjąć teraz, że dowolna wartość xn<*Jc + \, to i dla następnej wartości otrzymujemy
■*:n + l'<Vc + >/C"^l <\J C + 2 >/c + l =yj C~r\ .
Tak więc nasze twierdzenie o ograniczoności z góry ciągu {*„} sprawdza się metodą indukcji matematycznej.
Na podstawie twierdzenia o ciągu monofonicznym ciąg {*„} ma pewną granicę skończoną a. Aby ją określić przejdźmy do granicy w równości
*n+i =c+xn;
otrzymujemy zatem, że a spełnia równanie kwadratowe
2
a =e + a.
Równanie to ma pierwiastki różnych znaków; ale interesująca nas granica a nie może być ujemna, a więc równa się pierwiastkowi dodatniemu
v'4c + l+l
a =---
2
3) Obierając dowolne x0, 0<xo<l, określmy ciąg {.v„} rekurencyjnie
*,:+ i=*n(2-*„).
Zakładając, że 0<x„<l, co jest spełnione dla n = 0, stwierdzimy, że
^-1 •
Rzeczywiście, ponieważ 2—x„>\, więc x,1 + .>xn; ale xn{2 —xn) = l — (1 — xn)2, skąd xn + 1<l. Tak więc pokazaliśmy przez indukcję, że ciąg {*,,} monotonicznie rośnie i jego wyrazy pozostają mniejsze od 1; wynika stąd, że rozważany ciąg ma skończoną granicę a^O. Przechodząc do granicy w związku reku-rencyjnym, znajdujemy, że a = 1. Tak więc, lim xn = l.
Pozostawiamy czytelnikowi rozpoznanie, co zajdzie, jeżeli wziąć x0 poza przedziałem (0, 1).
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
60 I. Teoria granic Aby znaleźć tę granicę, przejdźmy do granicy w napisanej powyżej równości;
Untitled 19 62 I. Teoria granic [35 5) Wychodząc znowu od dwóch liczb dodatnich a i b (a>b), utwó
Untitled 21 64 I. Teoria granic [35 Pozostaje pokazać, że a — a". W tym celu niech n dąży w (1)
Untitled 15 58 I. Teoria granic [33 skąd otrzymujemy (por. przykład 2)) (*+ >* , lim — lim 2 n +-
Untitled 23 66 I. Teoria granic [36 nazywamy logarytmami naturalnymi i oznaczamy je znakiem ln bez w
Untitled 25 68 I. Teoria granic [37 który służy za punkt wyjścia do obliczenia liczby e. Odrzucając
Untitled 27 70 I. Teoria granic [38 Niech dany będzie ciąg przedziałów <ai,bl},^a2,b2y,
odczytywania zawartości ekranu. Aby znaleźć tę instrukcję na płycie CD, wykonaj następujące
1 35 Aby wykonać tę samą operację na nieprzy legających zakresach, zaznacz pierwszy zakres, a
Aby uzyskać więcej informacji, przejdź do karty Spis treści w Pomocy ekranowej. Wpisz słowo wiele w
więcej podobnych podstron