00098485
262 III. FUNKCJE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ
Łatwo sprawdzić, te nie jest to funkcja holomorficzna, gdyż nie spełnia warunków Cauehy 'ego- Riemanna. Część rzeczywista E. i część urojona E, tej funkcji są natomiast klasy C* i spełniają warunki
~~ £*=-$-£, oraz —• (—£,)«= E, df ók ’ dy ’ dx
w każdym punkcie, z wyjątkiem początku układu. Pierwszy z tych warunków oznacza, źe pole (HI.53) jest bezwizowe, natomiast drugi, że pole to jest beziródhwe. Wynik* stąd, że w każdym prostokącie (a nawet —jak można wykazać — w każdym o rze jednospójnym) nie zawierającym punktu 0 istnieje taka funkcja V{x, y) nazywana potencjałem elektrostatycznym pola E, te
dV
dV
oraz istnieje taka funkcja U(x,y), nazywana funkcją sil pola E, te E,--‘z i E..ę.
Potencjał V(x,y) i funkcja aił U(x,y) są to funkcje h a r •> tS oniczne, sprzężone ze sobą za pomocą równań
które są bezpośrednią konsekwencją warunków (111.54) i (Ilł.55). Wynika Stąd,' ■! te funkcja zmiennej zespolonej
F(z)- U(x,y)+jVlx,y) jest holomorficzna w rozważanym obszarze jednospójnym. Nosi ona nazwę potencjału zespolonego. Linie rodziny
V(x, y) — const
są to linie stałego potencjału, natomiast linie rodziny U(x, y) * cojist
są to linie sil. Każda linia jednej z tych rodzin jest ortogonalna do każdej linii drugiej rodziny.
Łatwo sprawdzić, że dla poła określonego wzorem (111.53) mamy
V(x,y) = -plnOcHyO+C,
oraz
lĄx,y) “ 2ę •rctg2L+Cł przy czym dla prostoty ograniczyliśmy się do półplaszczyzny Re z > 0, co zapewni*
ciągłość funkcji arctgj. Potencjał zespolony pola (HI.53) jest więc określony w pół-plaszczyżnie Re z > 0 nasiępującym wzorem
f(a) = 2g (arc tg -J In j/xł+y2j + C
czyli
F(z) = 2g(argz-yln|i|)+C {11LJ7)
gdzie C oznacza dowolną liczbę zespoloną. Limami stałego potencjału są tu okręg! [z| = consł, natomiast liniami sił—półproste argz *= const.
Powróćmy do wzoru (111.56). Ponieważ
r« -1" +'1 - -*-*■ -
więc
E= (III.S8)
Wzór ten wyraża zależność wektora E pola płaskiego od potencjału zespolonego F(z)\ kreska oznacza wartość sprzężoną.
Należy zaznaczyć, żc potencjały zespolone wprowadza się nie tylko w elektro-statycc, lecz takie w innych działach fizyki teoretycznej tam, gdzie mamy do czynienia z polami płasko-równoległymi- Oprócz elektrostatyki do działów takich należą w pierwszym rzędzie hydromechanika i aeromechanika.
ĆWICZENIA
1. Podać deTinkjc funkcji holomorficznej w punkcie. Porównać holomorficzność funkcji JXi) w punkcie r* « istnieniem pochodnej/'(zo). Co to znaczy, ie funkcja jest holomorficzna w obszarze? Porównać holomorficzność funkcji w obszarze z istnieniem pochodnej funkcji w tym obszarze.
2. Wykazać, że część rzeczywista i część urojona funkcji holomorficznej w pewnym obszarze są to funkcje harmoniczne w tym obszarze. Sprawdzić to bezpośrednio dla fonio?:
a) /Itr) - i*+r, b). Ar)-e», c)/)»=.—, d)/(z)-ze-«.
3. Podać definicję runkcji harmonicznych sprzężonych ze sobą. Podać przykłady takich
funkcji
4. Omówić znajdowanie funkcji holomorficznej, gdy dana jest jej częćć rzeczywista albo
urojons. Znaleźć funkcję f[z) *= u+Jv, jeżeli: a) » = *’-3xy\ b) v -= 6x*y-2y',
cj a = e1 (zcosy-ysfaiy). Otrzymany wynik sprawdzić bezpośrednim rachunkiem.
3. Wyjaśnić interpretację geometryczną par funkcji harmonicznych sprzężonych ze sobą.
6. Omówić interpretację fizyczną funkcji holomorficznej, nawiązując do analizy pola płasko-równoległego. Co to jest potencjał zespolony?
7, Wykazać, że między wektorem E pola (111.53) oraz funkcją sil U tego pola, zachodzi następ«»cy **!*«* E - -]gn<5 U.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
I. FUNKCJE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ Łatwo sprawdzić, że nie jest to funkcja holomorficzna, gdyż nie spełn
19510 str014 (5) 14 I. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ Rugując parametr t z układu (1),
26695 str112 (5) 112 1. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ Łatwo zauważyć, że równania bokó
str047 (5) § 6. CAŁKA FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ 47 -. b) J2 = jzdz, gdzie C jest krzywą o równaniu
str021 (5) § 3. FUNKCJE ZESPOLONE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ 21 nktów z, spełniających nie- iktu r0 przedst
36778 str054 (5) 54 1. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ Zadanie 8.2. Obliczyć całkę0) gdz
SKMBT?5007122709470 51 CZĘŚĆ III • WYTWARZANIE ROZDZIAŁ 9 • DZIEŁO SZTUKI realnego, jednak nie są to
17 Funkcje zespolone. Nie jest to funkcja holomorficzna w punkcie z0 = 0, ponieważ dla z ^ 0 pochodn
Z LEKTUR ZAGRANICZNYCH 553 skomplikowane funkcjonowanie, a nie zarządzanie: to nie jest to samo. Oto
def odlewnictwo2 4. ZESPÓŁ MODELOWY Zespół modelowy lub oprzyrządowanie modelowe j
więcej podobnych podstron