39127 skanuj0015 (214)

Iział 4- Ciągi i szeregi

44- Szeregi funkcyjne 77

N

jeśli ciąg S_N = E f_n

n—1

oo

Twierdzenie 4.69. Jeśli szereg E ^anXq jest zbieżny dla pewnego xq G IR,

n=0 oc

iych możemy stosować )dane dalej kryterium

zo 7^ 0, to szereg E ^anXⁿ jesi zbieżny bezwzględnie dla x G (—| rro |, |xo|) oraz

n—0

jednostajnie zbieżny w przedziale [—c, c] dla 0 < c < |xo|-

oo

Dowód. Warunek konieczny zbieżności szeregu E ^an^xo ^mówi o tym, że

n=0

hech będzie dany eiąg x)\ ^ a_n dla n G N,

jest zbieżny jednostaj-

a_nX(j -> 0. Ponieważ każdy ciąg zbieżny jest ograniczony, zatem istnieje M takie, że |a_nXo | < M. Zatem dla każdego n G N mamy:

■ |a„x»|<|a_nxS||^r<M|^|ⁿ

'. Wtedy |sinf2| ^ i ⁰⁰

E —gir jest zbieżny

n=l

OO n

Szereg E M ^ jest szeregiem geometrycznym. Zatem jest on zbieżny, je-

n= 1

śli |x| < |xo|. Korzystając z kryterium porównawczego zauważamy, że szereg 00

E a_nxⁿ jest bezwzględnie zbieżny dla x G ( — |.-ro|, |#o|). Jeżeli x G [—c, c] dla

n=0

pewnego 0 < c < aro, to zachodzi nierówność \a_nxⁿ\ ^ M • Szereg licz-

wych, tzn. o szeregach

oc / \ n

bowy Y,^M{\gg\) j^est zbieżny, wobec tego z kryterium Weierstrassa wynika,

n-0 ' '

00

że szereg E ^anXⁿ jest zbieżny jednostajnie. □

n=0

ila których x G IR szepcie szereg (4.14) jest

Twierdzenie 4.69 mówi więc, że szereg potęgowy zawsze jest zbieżny w pewnym przedziale o środku w 0. Wyjątkiem jest oczywiście przypadek, gdy szereg jest zbieżny tylko dla x = 0. Wtedy przedział redukuje się do jednego punktu {0}. Naturalne jest zatem pytanie o maksymalny przedział zbieżności.

wielomiany, czyli funk-)Otęgowy to naturalne )iszemy sumę nieskoń-

oc

Definicja 4.70. Jeśli mamy dany szereg potęgowy E ^anXⁿ. to możemy roz-

n—0 oo

ważać zbiór 71 = {p G IR₊ : E ^an%ⁿ jest zbieżny dla x G (—p, p)}. Jeśli zbiór

n—0

zn. o zbiór x G IR, dla

ten jest ograniczony i niepusty, to r = sup 7Z nazywamy promieniem zbieżności tego szeregu. Innymi słowy, promieniem zbieżności szeregu potęgowego

:o pytanie o dziedzinę pbaczymy w kolejnych pgów potęgowych, np.

00

E a_nxⁿ nazywamy taką liczbę r > 0, że szereg ten jest zbieżny dla x G (—r, r),

n=0

a rozbieżny dla x G (—oo, —r) U (r, +oc). Jeśli zbiór 7Z jest nieograniczony, co

oc

oznacza, że szereg E ^anXⁿ jest zbieżny dla x G IR, to przyjmujemy, że promień

n=0

rac z leorii funkcji anali-liczkowej: pierwszy skon-l punkcie.

oo

zbieżności r — +oo. Jeśli natomiast zbiór 7Z jest pusty, tzn. szereg E a_nxⁿ

n=0

jest zbieżny tylko dla x — 0, to przyjmujemy r = 0.