58835 str296

296 5. ZARYS RACHUNKU TENSOROWEGO

Definicja 4. Pochodną absolutną tensora rzędu zerowego (skalara) jest pochodna zwyczajna:

(5.9)

SF _dF ó u du

Własność 4. Pochodna absolutna iloczynu stałej i tensora jest równa iloczynowi stałej i pochodnej absolutnej tego tensora, np.

(5.10)

<5 {A T,^kn) ST\ⁿ— A-

Su¹

Własność 5. Pochodna absolutna sumy tensorów równa się sumie pochodnych absolutnych poszczególnych składników, np.

(5.11)

HT'^kn+V,^kn) ST,^kn [ ST* Su Su Su

Własność 6. Pochodna absolutna iloczynu zewnętrznego (wewnętrznego) dwóch tensorów równa jest sumie iloczynu zewnętrznego (wewnętrznego) czynnika pierwszego przez pochodną absolutną czynnika drugiego oraz iloczynu zewnętrznego (wewnętrznego) czynnika drugiego przez pochodną absolutną czynnika pierwszego.

Oto kilka przykładów:

(5.12)

(5.13)

(5.14)

S(T^rS_r) ZSSr <5 r

Su ~^T Su_t^+S' Su ’

5(TⁿSr)

*(T^k'SV SS; „ST¹" ^T Su ^+S' Su ’

SS" 5Tⁿ

= T——l-S——. Su Su

Definicja 5. Mówimy, że wektor kontrawariantny T^r jest przesunięty równolegle wzdłuż krzywej x?(u), jeżeli spełnia on równanie różniczkowe

(5.15)

ST dT^r f r ) dxⁿ

-=-->T — = 0.

¹Su du (m nj du

Definicja 6. Mówimy, że wektor kowariantny T_r jest przesunięty równolegle wzdłuż krzywej x?(u), jeżeli spełnia on równanie różniczkowe

(5.16)

^ _{= o}

i du (r n) ^m du

ST_r dT, Su

Własność 7. Wektor jednostkowy styczny do linii geodezyjnej jest wzdłuż niej przesunięty równolegle, a zatem

<⁵”> !(£)-«■

58835 str296

58835 str296

^ = o

^ _{= o}