62962 str270

270 5. ZARYS RACHUNKU TENSOROWEGO

Porównując wyrażenie (2) ze wzorem (1.5) wnioskujemy, że zbiór prędkości —jest

wektorem kontrawariantnym.

dcp

Zadanie 1.2. Zbadać, czy zbiór wielkości — jest tensorem kowariantnym rzędu

pierwszego. Przyjmujemy, że funkcja cp = cp(x¹, x², x^N) ma ciągłe pochodne rzędu pierwszego względem wszystkich zmiennych x^T.

Rozwiązanie. Współrzędne x^r i y^r dwóch układów niech będą związane następującymi zależnościami (1.2):

/ = /V, X², ..., x^N) dla k = 1,2.....N.

dcp dcp

dy'

dcp

J____ .

*L+

dcp

dy^N

dcp

dx^r,j dy¹

\dx'

^ '

1 ^

dx^r

s— 1

' dx^r

Korzystając ze znanych praw rachunku różniczkowego możemy napisać:

(2)

Zgodnie z umową sumacyjną wyrażenie (2) możemy zapisać w postaci

(3)

dcp dtp dy^s

d7 ⁼ a7^s' ćbc^r'

Porównując zależność (3) ze wzorem (1.10) wnioskujemy, że zbiór wielkości d(p/dx^r jest tensorem kowariantnym rzędu pierwszego, czyli wektorem kowariantnym.

Zadanie 1.3. Wyznaczyć czemu są równe następujące wyrażenia: a) d^sro_k, b) S^sra^rs, gdzie ó* jest deltą Kroneckera.

Rozwiązanie, a) S^sra^rk — Z S^sra^rk.

r = 1

W powyższej sumie tylko te składniki są różne od zera, dla których r = s. Uwzględniając że <5* = 1, otrzymujemy d^sra^rk = a{.

b) <5X = i £ SX = £ al

s=l r= 1

s- 1

Zadanie 1.4. Obliczyć czemu jest równe wyrażenie d_pó^ka_k, gdzie <5' jest deltą Kro

neckera.

N .V N

Rozwiązanie. d'_p5^kra_k = Z Z &$= Z ^óp^ak = a_P-

[dr dcp dz)

⁼ {dt’Tt’~dt]

k=l r— 1 k=1

Zadanie 1.5. Dany jest tensor kontrawariantny rzędu pierwszego V^k

we współrzędnych cylindrycznych x^k = {r,cp, z}. Wyznaczyć składowe V'^k tensora V^k we współrzędnych sferycznych x'^k = {<?,<£, 0}.