230 4. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE RZĘDU DRUGIEGO

Własność 1. Potencjał ładunku przestrzennego (3.11) spełnia równanie Poissona (4.1), jeżeli gęstość przestrzenna ładunku q = —f

(4.2)

Własność 2. Jeżeli do funkcji (4.2) dodamy dowolną funkcję harmoniczną, to otrzymana suma spełnia również równanie (4.1).

Zadania przykładowe

Zadanie 4.1. Wyznaczyć rozkład temperatury w przewodniku elektrycznym o przekroju kołowym r^a, jeżeli w przewodniku tym płynie stały prąd elektryczny o danym natężeniu prądu I, podczas gdy powierzchnia boczna przewodnika utrzymywana jest w stałej temperaturze równej T₀.

Rozwiązanie. Funkcja T(r) opisująca pole temperatury w rozważanym przypadku spełnia równanie różniczkowe Poissona o następującej postaci:

(1)

d²T 1 dT _ p dr¹ ^ r dr X

oraz następujące warunki graniczne:

(2)

przy czym

t) -»•

A/_r = o

^ciT

T(a) = 0,

1²Q

P 2 A >

Tc a

gdzie A to przewodność właściwa cieplna, q — oporność elektryczna właściwa. Rozwiązaniem ogólnym równania (1) jest następująca funkcja:

u"²

(3)

pr

T (r) =---h/41n r + B.

4A

Z warunków (2) otrzymujemy następujące wartości stałych A i B:

A = 0, B =

a\p

‘AK '

po uwzględnieniu których w funkcji (3) mamy

r(r) = £(a²-r²), 4A

tzn. funkcję opisującą rozważane pola temperatury w przewodniku elektrycznym.

§ 5. Równanie falowe

Definicja 1. Równaniem stępującej postaci:

(5.1)

Definicja 2. Dalamberc (5.1')

Własność 1. Równanie

(5.2)

Definicja 3. Rozwiązań tencjałem opóźnionym punki

(5.3)    «

gdzie <2>, i <f>₂ są dowolny: włącznie, przy czym

i

Definicja 4. Potencjale/ w chwili t przez zmienny w c określoną przez następując!

(5.4)

gdzie A(x, y, z) są punkta punktami leżącymi na powi zmienną w czasie i określony wej ładunku;

r =

Definicja 5. Potencjalei

(5.5)

(oznaczenia w powyższym