Ciagi zad! 32 odpowiedzi

264

prr.y * -* oo.

22. a) Mamy:

r^łl<.-H)l * — (»+l T" 2^-»! 2(n+l)n-

a_m = 0 (por. zad. 14).

b) Pozostawiamy Czytelnikowi.

23. Korzystając, zgodnie ze wskazówką, z nierówności

W*'

Twierdzenie o trzech c

t) Zauważmy najpierw, że ('^{+ =} [(']’

(l+Jj) -♦*. więc (por. zad. 19) 1 < ^1 + < e. Stąd !

Na ptNlutnwie twierdzenia o trzech ciągach wnioskujemy, że lim c, I

M. Weźmy dowolną liczbę naturalną n. Wtedy oczywiście {Ute W: ' n) i (* e IM: k > n + I}, więc (por. zad. 35, rozdz. IV) a, < a.,, < fi,,, < fi,

' ••mii ciąg {a.| jest rosnący, zaś ciąg {fi,) jest malejący. Ponadto a, < /I, oraz

* i, dla nelM. Oznacza to, że {<*„} jest ograniczony z góry, zaś {fi,} z dołu. lwi naszego stwierdzenia wynika z zad. 16.

Ift. Nierówności te są konsekwencją faktów ustalonych w rozwiązaniu r'iHMuluicgo zadania.

II a) Wyznaczając ciągi {a,} i {fi,} z zad. 25 mamy w nus/.ym przypadku: -l.fi,- I dla heN,

* *Hfo liminf<j„ = — 1, limsupa„ = 1.

b| lim inf fi, = 0, lim sup fi, = 2,-

•) lim inf c_m = -, lim supc, = e,

4) lim inf fi, ■= — 1, lim sup fi, * 1.

tH Standardowy dowód pozostawiamy Czytelnikowi.

W Ustalmy dowolnie e > 0. Wtedy dla liczby M = 'istnieje n₀e W takie, ze ■i ♦ M dla n > no, neW. Stąd 7^7 < 7; = « dla n 3s n₀, tzn. że ' \< r. dla

l^aJ M KI

• <■„ /godnie z definicją granicy oznacza to, że lim — = 0.

VI. Dowód pozostawiamy Czytelnikowi.

tl. Dowód jest prostą konsekwencją nierówności n_k ^ k dla kr W, gdzie •>,l jest dowolnym ciągiem ściśle rosnącym o wyrazach będących liczbami

zystych

M. a), c), d) — rozbieżne; b) — zbieżny.

• 1 /.my np. rozbieżność ciągu {ej. Biorąc podciąg o wyrazach

•u rymujemy;

Imaz dla podciągu {r*,} mamy:

IR.

»sd ' ' zad. 31 wynika, że {r„) nic ma granicy