img047

4?

Własności funkcji rzeczywistych ciągłych na kompakcie

Twierdzenie 4,5, Oeśli (Z,d) jest kompaktem i f;Z—*R jest funkcję clęgłę « 2, to f jest ograniczona na zbiorze Z, tzn*

V A |f(x)UM

m > o x e z

Dowód. Przypuśćmy, że f nie jest ograniczona na Z. Wówczas dla każdej liczby naturalnej a Istnieje punkt xeZ, taki że lf(x)l>m.

Clęg J,?,... zawiera podcięg zbieżny. Przyjmijmy, że lim 2 » x£Z.

Z cięgłości funkcji f wynika, że Jeśli d(x,£)«6, to l f (x)-f (?) I 4 l, czyli | f(x)| 4 lf(S)l ♦ 1. Z drugiej strony, w kuli K(8,S) leżę punkty cięgu i,?,..., w których funkcja f przyjmuje dowolnie duże wartości. Stęd sprzeczność, a tym samym koniec dowodu twierdzenie 4.5*

Twierdzenie 4,6. Deśll (Z,d) Jest kompaktem i f:Z—*R Jest funkcję eięgłę w Z, to f oslęga na zbiorze Z snę wartość maksymalnę i ml* nlmalnę.

Dowód. Niech e ■_x*^ug f(x). Z twierdzenia 4*5 wynika, że a jest ilczbę rzeczywistę, a Z definicji supremum otrzymujemy, że dla każdego msN istnieje punkt "cZ taki, że

O ^ s - f(x)

Przypuśćmy, że f nie oslęga na zbiorze Z wartości s. Wówczas funkcja

sW - 5TTT7T

jest cięgła w zbiorze Z, a więc Jest ograniczona (twierdzenie 4.5). Ale wartości mianownika funkcji g na cięgu zmlerzaję do zera, gdy m^oo i funkcja g nie może być ograniczona. Dowód twierdzenia 4.6 został więc zakończony.

Przed podaniem następnego twierdzenia wprowadzimy pojęcie funkcji Jednoetejnle clęgłej.

DefJLnic^a^^4. Niech (Z,d) będzie przestrzeni# metrycznę. Mówimy, że funkcja fsZ^A-^R jeat jednostajnie cięgła w zbiorze Bca, Jeśli

A V /\ d(x,y)><$-* l f (x)-f(y) I < e e >o <$(e) > o x,y e e

Z powyższej definicji wynika, że funkcja jednostajnie cięgła w zbiorze B jeet w tym zbiorze cięgła. Istnieję jednak funkcje cięgłe w B, które nie sę jednostajnie cięgłe.

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
P3230302 Aproksymacja jednostajna Będziemy rozważać przestrzeń C(X) funkcji rzeczywistych ciągłych n
DSC91 (2) Dystrybuanta zmiennej losowej i jej własności_ Funkcję Fa określoną na całym zbiorze licz
8 (17) 143 Zadania 14. Niech/ będzie ciągłą funkcją rzeczywistą określoną na R mającą własności: 0
skanuj0005 MATEMATYKA Lista 4 TEORIA:Funkcja pierwotna: Funkcją pierwotną funkcji rzeczywistej / okr
ROZDZIAŁ IPRZESTRZENIE BANACHAPrzestrzenie unormowane Podstawowe własności Funkcję rzeczywistą
EPSON008 MATEMATYKA Lista 4 TEORIA:Funkcja pierwotna: Funkcją pierwotną funkcji rzeczywistej / okreś
Patologia - badanie bytu rzeczywistego, odpowiada na pytanie „co to jest?” Aksjologia - nauka o wart
157 § 5. Własności funkcji ciągłych Ponieważ    więc na mocy (7) jest
155 § 5. Własności funkcji ciągłych 89. Nowe dowody podstawowych twierdzeń. Pokażemy teraz, że lemat
imag0223v 16 Zestawy zadań z kolokwiówGrupa B 1 + z3 X. Funkcje wymierną r - -.v rozłożyć na rzeczyw
Własności Symetria Dla sygnałów rzeczywistych ciągłych !!! i dyskretnych zachodzi: MT(*)

więcej podobnych podstron