img065

Wykład 6

Kryterium różniczkowalności

Badanie róźniczkowalności funkcji wprost z definicji 5-3. Jest zwykle trudne i rachunkowo dość żmudne. Wiemy Już (zobacz zadanie 5*5), że istnieję funkcje, które sę rózniczkowalne, ale ich pochodne częstkowe nie są cięgle. Okazuje się Jednak, że cięgłość pochpdnych częetkowych Jest warunkiem wystarczającym dla różniczkowelności.

Twierdzenie 5.1. Deśli pochodne częstkowe (^k • l,...,rv) funkcji

“■    ^k n

rzeczywistej f istnieję nie tylko * punkcie acR , ale i w pewnej kuli K(a,r), zaś w punkcie a są cięgle, to funkcje f Jest różniczko-walne n punkcie a.

Dowód tego twierdzenia poprzedzimy dwoma lematami, które odnoszę się do funkcji rzeczywistych jednej zmiennej rzeczywistej.

lemat 1 (Rolle 'a ^Zl). Oeśli funkcja fj4a,b> -* R Jeet cięgła w<a,b> i różniczkowalna wewnętrz tego przedziału oraz f(a) * f(b) » C, to istnieje taki punkt ce(a,b), w którym pochodna funkcji f jest równo zero.

Dowód, Ponieważ funkcje f jest cięgła w <8,b> ₍ więc osięge ona w tyra przedziale wartość największę i wartość najmniejszę (zobacz twierdzenie 4.6). Przynajmniej Jedna z nich, na przykład wartość największa, jest osięgnięta w pewnym punkcie c naleźęcym do wnętrze przedziału <a,b>, tzn.

V A f(x) - f(e)40

ce(e.b) xe<a.b>

Michel Rolle (gi IV 1652 - 8 XI 1719; - matematyk francuski, który zajmował aię głównie algebrą, © dokładniej równaniami algebraicznymi, lył on znanym krytykiem analizy Deacarteaa i rachunku nieskończenie małych Leibniza,

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
237 § 1. Badanie przebiegu funkcji Konieczność. Jeśli /(x) jest funkcją rosnącą w przedziale 3C, to
2012 10 21 59 06 Celem badania gwarancyjnej funkcji kapitałów własnych jest zbadanie faktycznego&nb
47432 IMG4 (3) PL pgSOL instalacja Po utworzeniu funkcji, jej definicja jest zapisywana w bazie dany
249 § 1. Badanie przebiegu funkcji Xi = l — yj2fs — 0,41 i x2 = l+ >72*2,41. Różniczkujemy znowu
Skrypt3 Również przy badaniu ekstremów funkcji rachunek różniczkowy oddaje nieocenione usługi. Podst
img071 • • • nazywamy różniczkę zupełny, albo krótko różniczkę, funkcji 4 w pun*-etę a. Oznaczamy ję

więcej podobnych podstron