00098486

264 m FUNKCJE ZMIENNEJ ZESPOLONE!

Ł Narysować linie stałego poltncjalu oraz linie prądu, jeżeli potencjał zespolony wynosi a) F(z)-z + 2. W F(i) = z*.

9. Wykazać, że jeżeli:    a) czcić rzeczywista lub h) moduł funkcji holomorficznej /<x) s«

stale w obszarze D, to/(z) « const.

Wskazówka. Skorzystać z warunki} w Cauchy ego-Rlrmaana

7. CIĄGI I SZEREGI FUNKCJI ZESPOLONYCH

Niech SI oznacza pewien niepusty zbiór punktów płaszczyzny Z.

Def. Ciąg funkcyjny {/„(z)} określony w zbiorze SI jest to przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej n dokładnie jednej funkcji /.(z) określonej w tym zbiorze. Zamiast {f_m{z}) piszemy też

/,(*). fi W. -./.W, -

Na przykład

Niech J\z) będzie pewną funkcją określoną w zbiorze S2,

Def. Funkcję f(ź) nazywamy funkcją graniczną ciągu {/.(z)! w zbiorze O, jeżeli dla każdego t > 0 i dla każdego istnieje taka liczba 3, że dla każdego n> b spełniona jest nierówność

I/,(r)-A*)l < *

Jeżeli ciąg {/,(*)} ma w zbiorae SI funkcję graniczną /Iz), to mówimy, że jest on w tym zbiorze zbieżny do tej funkcji i piszemy Mm/-„(z)=/(z)

Sformalizowana postać definicji zbieżności ciągu {/.(z)} w zbiorze fl jest następująca:

Def.

[r.w ;#]*AAV^    < • ra*»

Warunek (111.59) jest więc spełniony wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ustalonego ze SI ciąg liczbowy {/‘.(z)} jest zbieżny.

Podamy teraz określenie jednostajnej zbietnoki ciągu f/.(z)} w zbiorze SI do funkcji granicznej f[z), przy czym dla odróżnienia od zbieżności zwykłej (w sensie definicji (11160)) piszemy w tym przypadku

fM* Ar)

Def.

[/.W ~/fc)] «* /\ \/ A A l/.(z)-/?r)| < «    (Hf.61)

Różnica między zbieżnością zwykłą i jednostajną jest tu taka sama jak w przypadku ciągu funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej, więc nie będziemy jej szczegółowo omawiać. Zwrócimy jedynie uwagę, że prawe strony równoważności (III.60) i (III.61) różnią się tylko kolejnością drugiego i trzeciego kwantyfiknloru. Z podanych definicji wynika, że każdy ciąg jednostajnie zbieżny jest zbieżny, nie nie na odwrót.

Przykład. Wykażemy, że

21

gdzie i/" suplzj. Dla każdego r > 0 istnieje więc taka liczba każdego : g n i dla każdego ir > <1 spełniona jest nierówność

Tw. (o ciągłości funkcji granicznej). Jeżeli

*•    r Ą/.wsc”(ił)

to f[z)eC(Sl).

Uwaga. Symbol C°(Sl) oznacza zbiór wszystkich funkcji f(i) ciągłych w zbiorze SI. Dowód tego twierdzenia przebiega tak samo jak w przypadku ciągu funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej.

Def. Ciąg

lg/.w!

nazywamy szeregiem funkcyjnym.

Szereg funkcyjny (111.62) oznaczamy zwykle symbolem

2^ /".(z)    (III.63)

bądź też

/.(*)+/»(*)+ ... +/.(!)+ ...

Szereg (111.63) nazywamy zbieżnym (Jednostajnie zbieżnym), w pewnym zbiorze, jeżeli ciąg (111.62) jest zbieżny (albo odp. jednostajnie zbieżny) w tym zbiorze. Funkcję graniczną ciągu (111.62) nazywamy sumą szeregu (111.63).

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Matematyka 2 1 160 III. Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych 160 III. Rachunek całkowy funkcji
66168 WP 1402057 1 .Omówić podstawowy zespół zabezpieczeń silników okręt, prądu stałego i zmiennego
skanuj0047 (78) Rozdział 2. ♦ Znaczniki, zmienne i typy danych 59 powoduje, że zmienna napi s otrzym
III. Funkcja kontrolna 247 III. Funkcja kontrolna 247 owiązku wy-i stanowisko v razie uzna-ić dezyde
DSCN0097 57    PtfC 58    polekowy zespól (oczniopodobriy 59.zapa
zdj2 Gospodarka leśna Funkcje 14 XII 2012 Zadanie 1. Narysować wykres funkcji y = arc cos x. i B x A
DSC
43(1) Wyznaczyć trzeci rzut danego w rzutach Monge’a zespołu geometrycznego, a następnie narysow
Segregator2 Strona2 Zespół III. Zadanie: Elektroliza wodnego roztworu wodorotlenku sodu. Odczynniki
DSC07071 (5) 74 Granico funkcjipp
Matematyka 2 9 I5S III. Ruchuitck unikowy /unkijł wielu zmiennyt h I5S III. Ruchuitck unikowy /unk
Prąd z sieci jest prądem zmiennym, dlatego urządzenia do wytwarzania prądu stałego zaopatrzone są w
1385490996300(1) Wyznaczyć trzeci rzut danego w rzutach Mongtfa zespołu geometrycznego, a następnie
DSCN0097 57    PtfC 58    polekowy zespól (oczniopodobriy 59.zapa
Obszar II.- znajomość funkcji językowych znajomość funkcji językowych w klasach III Część egzaminu
Photo013(1) Funkcje Tornąuista I, II i III rodzaju. Funkcje T6mquista I, II i III ro< przykładem

więcej podobnych podstron