12086 wyznaczniki,macierze (5)
30 Momenty algebry liniowej
Zadanie 10 (§ 3, zad. 5c)
Korzystając z twierdzenia Kroneckera-Capelli zbadać istnienie rozwiązań układu równań. W przypadku rozwiązalności znaleźć wszystkie rozwiązania
| X1-x2+ x3 = 0 [2x, +x2 -2x3 = —1
V
Tworzymy macierz współczynników A i macierz rozszerzoną A
A =
-1
1
-1 1 0 1 -2 -1
Wyznaczamy rząd macierzy A. Korzystając z definicji rzędu macierzy otrzymujemy
rz A = 2,
ponieważ największy ze stopni nieosobliwych minorów macierzy A jest równy 2,
np.
Wyznaczamy rząd macierzy A .
Ponieważ wymiar macierzy A wynosi
(m,n) = (2,4)
oraz
rzA < rzA < min (m, n),
więc
rzA = 2.
Zatem
rzA = rzA = 2.
Na mocy twierdzenia Kroneckera-Capelli układ równań jest niesprzeczny. Ponieważ rzA = 2, zaś liczba niewiadomych n = 3, więc układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru (n-rzA = 3-2 = 1).
Znajdziemy te rozwiązania.
Przyjmujemy jedną ze zmiennych jako parametr. Ponieważ przy wyznaczaniu rzędu macierzy A wyznaczyliśmy nieosobliwy minor złożony ze współczynników przy zmiennych x, i x2, którego stopień jest równy rzA, tzn. 2, więc wartość
mierniej \, może być przyjęta w sposób dowolny, zmienną tę można przyjąć jako parametr.
x3 = t, tG R .
Wolur tego rozważany układ równań jest równoważny układowi
tG R.
x, - x2 =-t
I 2x, + x2 = -1 + 2t
Macierz współczynników przy niewiadomych jest nieosobliwa (W = 3), więc ul huI równań jest układem Cramera.
i Hiliczamy wyznaczniki
-t
— 1 + 2t 1
1 -t
2 — l + 2t /i wzorów Cramera otrzymujemy
Wx =
x i
Wx =
X2
—t — l + 2t — — 1 + t,
-1 + 2t + 2t = -1 + 4t .
WX1 -1 + t Wx? -l + 4t
x, =-- =-, x, =-*- =-
W 3 2 W 3
< i itiitecznie rozważany w zadaniu układ równań ma nieskończenie wiele lozwiązań zależnych od jednego parametru:
x,=^(-l + t), x2=i(-l + 4t), x3=t, tg R .
Otl/i. x| — ~(— 1 +1), x2 =i(-l + 4t), x3=t, te R.
/ udanie 11 (§ 3, zad. 6a)
W zależności od wartości parametru keR zbadać rozwiązalność układu równań
2x, +3x2 =4 ■ kx, +(2k-2)x2 =8 .
(k + 2)x, +9x2 = 3k
W przypadku rozwiązalności znaleźć wszystkie rozwiązania.
V
Skorzystamy z twierdzenia Kroneckera-Capelli.
I worzymy macierze
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
wyznaczniki,macierze ROZDZIAŁ 3ELEMENTY ALGEBRY LINIOWEJ Zadanie 1 (§ 1, zad. la) Obliczyć wartość w
wyznaczniki,macierze (2) 24 Elementy algebry liniowejv "1 -l" p at•bt = 0 2 • 3 1
wyznaczniki,macierze (4) 28 Elementy algebry liniowej -1 -3 wx = 0 -1 3 2 - 2 -1 1 wy
47188 wyznaczniki,macierze (3) 26 Elementy algebry liniowej 26 Elementy algebry liniowej 1 -2 1
85516 wyznaczniki,macierze (6) 32 Elementy algebry liniowej 32 Elementy algebry liniowej 2 k 3 2k-
wyznaczniki,macierze (4) 28 Elementy algebry liniowej -1 -3 wx = 0 -1 3 2 - 2 -1 1 wy
ALGEBRA LINIOWA -zadania do rozwiązania 1. Pomnożyć macierze A * B: C) A = 1 2
22660 wyzn,mac2 (3) 30 lilcmcnty algebry liniowej 11111 2 1 1 1 1 3 1 1 1 1 4 1 1 1 1 5 Odp. 2
Obraz (1206) SU 1709 AGH WYZNACZANIE SIŁ TNĄCYCH I MOMENTÓW ZGINAJĄCYCH W BELKACH Zad
PB062294 fr—I Ekmr^nły algebry linkmrj u Zadanie 1.10. KortpaUpąc i twieritema Orneta rozwiązać ukła
wykład 12 2010 u-t Układy równań liniowych 4.3 Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneck
więcej podobnych podstron