17641 str141 (4)
ROZDZIAŁ 3
Przekształcenie Laplace’a i jego pewne zastosowania
§ 1. Przekształcenie Laplace’a i jego podstawowe własności
♦
Definicja 1. Funkcję zespoloną f(t) zmiennej rzeczywistej t nazywamy oryginałem, jeżeli spełnione są trzy następujące warunki:
1° f(t) jest wraz z pierwszą pochodną/'(/) przedziałami ciągła dla 0</<oo (tzn. /(/) i /'(/) mają w każdym skończonym przedziale co najwyżej skończoną ilość punktów nieciągłości rodzaju pierwszego);
2°/(0 = 0 dla —oo<r<0;
3° /(O jest funkcją rzędu wykładniczego o wskaźniku ż0> tzn. istnieją takie dwie stale /o>0 i M>0, że dla każdego t spełniona jest nierówność
(1.1) 1/(01 <Mev.
Definicja 2. Przekształceniem albo transformacją Lapłace'a nazywamy takie przekształcenie, które każdemu oryginałowi—funkcji f(t) przyporządkowuje funkcję zespoloną <!>(s) zmiennej zespolonej s według wzoru
(1.2) 4>(s) = ] ,
o
gdźie s = X+ico.
Uwaga. Jeżeli /(O jest oryginałem o wskaźniku X0, to całka po prawej stronie wzoru (1.2) jest bezwzględnie zbieżna w półpłaszczyźnie Res = X>X0.
Funkcję cP(s) określoną wzorem (1.2) nazywamy również obrazem funkcji f(t). Przekształcenie dokonane na funkcji f(t) za pomocą całki (1.2) oznaczamy krótko przez Hf). Mamy więc
(1.3) *(s) = ? f(f)e-«dt ^ L[/(0] = L(/).
o
Własność 1. Transformata Lapłace'a, czyli funkcja 4>(s) określona wzorem (1.2) jest funkcją zmiennej zespolonej s, holomorficzną w półpłaszczyźnie Res = X > X0, gdzie X0 jest wskaźnikiem wzrostu funkcji f(t) (rys. 3.1;.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
str142 (4) 142 3. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACEA 1 JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA § I. PRZEKSZTA 142 3. PRZE
23009 str152 (3) 152 3. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA i 3. PRZEKSZTAŁCENI
str196 (3) 196. 3. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA S 7. RÓWNANIA CAŁKOW 196
str170 (3) 170 3. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA § 5. WYZNACZANIE 1 170 3.
więcej podobnych podstron