304 J. ZARYS RACHUNKU TENSOROWEGO

Zadania do rozwiązania

1. Wyznaczyć składowe pochodnej kowariantnej wektora kowariantnego T_k =

SV

S?

we współrzędnych cylindrycznych x¹ = r, x² = ę, x³ = z.

2.    Wyznaczyć składowe pochodnej absolutnej tensora kontrawariantnego rzędu drugiego T^kl we współrzędnych cylindrycznych X¹ — r, x² — <p, x³ = z.

3.    Wyznaczyć dywergencję wektora kontrawariantnego V^k oraz laplasjan skalara U we współrzędnych sferycznych X¹ = q, x² = 0, x³ = ę.

Odpowiedzi

1. T_tn =

Tl/l —

^3/1 —

3.

divV = y;_k

2.

5T

u

Su

ST¹² "bu

ST¹³

Su

ST²¹

Su

ST²²

Su

ST²³

Su

ST³¹

Su

ST³²

d²V 8?'

d²V drdę

d²V _ d²V _ 8²V 8r8z '    ^3/2    8q>8z ’    ^3/3    8z²

dT^il    ,    dr

du    du

— T^llś?!L+ — T¹²

8²V

8²V

8(p8z’

dT¹² ,, dip .    .

^— rT²²--Ą T¹ ——i 1 —

du r du r du

du

dT¹³

du

dT²

■rT'¹—, du ’

dr

^!* /I n 22\ d<P 1    21 dr

- + [ — T^ll-rT²² —+—T²¹ —, \ /•    J du r du

2

dT²² 1.,    ,, d(p 2    ,, dr

= -r-+—(T¹² + r²¹) -T-+—T²²—,

du r    du r du

dT²³ 1 ,_xd(p 1 i-i dr

: —--1--T¹³-j--i--T²³ —

du    r du r du

dT ,2

*-p3 2

'³¹    d<p

du

--rT³

Su

ST³³

Su

du

<P

du ’ d cp

du r

^dT*\ 1 _Tsi dtp _| 1 _r32 du r du r du '

dr

■33

dT

du

§ 6. Tensory kartezjai

Definicja 1. Transfori nych z, w układ współrzęi

(6.1)

przy czym współczynniki . (6.2) gdzie

(6.3)

Własność 1. Jeżeli wsp związki

(6.4)

Własność 2. Wspólczyi czynią zadość następującej

(6.5)

co wynika z własności (6.2

Definicja 2. Tensorami według tych samych praw c współrzędnych (6.1).

Własność 3. Każdy tens jest tensorem.

Własność 4. Prawo tra, podniesienia lub obniżenia i

Własność 5. W przypt składowymi kowariantnymi Uwaga. W przypadku zawsze na dole. W tym roi kartezjańskich ortogonalny chodziły według relacji (6.1

20 — wybrane działy matematyl