590. Znaleźć sumę szeregu: 1

a) I

•> X

1

^n(n + lX« + 2)’

591. Stosując kryterium d’Alemberta zbadać zbieżność szeregów:

^a)

y2.5-.(3»-l), ’    l-5-...(4n-3)’

-) iy-

n=\ ³

2n —1

f) 2>^:

2 • tt sin —

2" ’

3”

597. Wykazać, które z danych szeregów są zbieżne bezwzględnie, któri ale nie bezwzględnie (warunkowo), a które rozbieżne:

a) X^;

t 2n-\

. v sin

^c) X—;

w=l ^J

w X

(-1)'

n ln w

a) K-O-tg-L;    f) £

»=i    «v«    rf

(lnlO)"

^h)

609. Obliczyć promień zbieżności szeregóv.

i) X

t 2"(2n + l) ’

("O²6” .

^h> X^;

*• %w •»

_k, fet-

^b) z-yry* • —¹ (/>•)

d) X

ln(n +1) n + 1

a (²«)^! ’

J) X

2 + 4 + ...+2h

I «) X

li    n=l

n + 1 n

oo /»3n+l „3

X2 n n

(n² +5)5" *

592. Zbadać zbieżność szeregów za pomocą kryterium Cauchy’ego: 1

£fln"(n+l)’

2n-l

^c) y

SV3»-1

e) y arc sin'

^b) M0I--

« X

i

arc tg cos—

V n

n + 1

611. Znaleźć przedział zbieżności

a> ylniL

«=o ⁿ 1

c) y (^3x+iY

szeregów:

^b) X7^JL737(* + 5)²"^łl; ^f(n + l)» ^v    f

(* + !)’

593. Zbadać zbieżność szeregów za pomocą kryterium porównawczego:

g) V (~jY*^l(2n — l)²"(jr -1)" -    (3n - 2)²"

d> y ___

(« + l)ln²(n + l) ’

₀ y₍__ir^

».i n + l ^v '

594. Zbadać zbieżność szeregów za pomocą kryterium całkowego:

1

^a)

^c) *

•> 1(^1^!

^ n ln n ln ln n

595. Znaleźć zbieżność szeregów:

.f, 10"2n!

■> i

c) Tarć tg"-;

t ⁿ

e) y sin — ;

+    2 n

^    ^(n + l)ln²(n + l)

y    1

^} h\j(2n-3f’

. V’ 1 , n + 1 .

612.    Rozwinąć w szereg Taylora funkcję y = — w otoczeniu punktu x = 3.

x

613.    Rozwinąć w szereg Taylora funkcję y - V* w otoczeniu punktu x = 4 .

614.    Rozwinąć w szereg Taylora funkcję y = cos² x w otoczeniu punktu tt

x = —.

4

619.    Napisać początkowe trzy wyrazy szeregu Maclaurina dla funkcji:

a)    ln(e*+*);    b)    In cos*;

c)    tg x;    d)    sec*;

e)    e ,    f)    g*sinx.

620.    Korzystając z rozwinięcia w szereg Maclaurina funkcji (l +    , rozwinąć

Vw"

_v e n\.

g) i, „ >

i) X

1

2 n ln n + \ ln n

d) X—;

tⁿ

^ i_.

⁰ tJn(n + \)’

^h)

j) |f⁺^⁺ir⁺-

625. Dane całki przedstawić w postaci szeregów korzystając z rozwinięcia w szeregi funkcji podcałkowych. Podać przedziały zbieżności otrzymanych szeregów:

\ fsin* ,

a) -dx;

^J X

c) J e~* dx;

. f

^e>

b) j^dx;

d)

^J X

0

f) \ ——^—dx;

«■    V