226(1)

Znaleźć promienie zbieżności szeregów potęgowych o wyrazach zespolonych:

§ 7. Szeregi Fouriera

Szeregiem trygonometrycznym nazywamy szereg funkcyjny o postaci

o₀ , / Jtx _t . nx\ . I 2nx . . 2ttx \ ,

~2+ I Oi cos — -| by sin -j-J + I a₂cos —_/ - +b₂sin —j-\ -f

+°° ,    .

/ nnx , j . mtx \ • Zj |fl-cos-— +6_nsm - j-l

n^\ '    ^J

gdzie: 1 > 0, zaś <7₀, a„, b„ — pewne stale (w — 1,2,...).

Wyrazami szeregu trygonometrycznego są sinusy i cosinusy kątów,

będących wielokrotnościami kąta ^{a suma} tych wyrazów S(x), jeśli

istnieje, jest okresową funkcją zmiennej x o okresie 21; S(x) = S(x-x-2l). Szeregi trygonometryczne są szeroko stosowane przy badaniu różnych procesów okresowych w elektro- i radiotechnice, w teorii mechanicznych drgań sprężystych i w wielu innych dziedzinach nauki i techniki.

Rozwijanie funkcji w szereg trygonometryczny nosi nazwę analizy harmonicznej. w ten bowiem sposób uzyskuje się rozkład pewnego złożonego zjawiska okresowego na proste drgania harmoniczne.

Szeregiem Fouriera dla funkcji f(x) w przedziale [—I, /] nazywa się szereg trygonometryczny o postaci (1), >r którym współczynniki a„ i b_n zostały obliczone ze wzorów Fouriera

bn = -y j f(x)sm—j-dx; «= 1,2,3,...

-1

Najprostsze warunki dostateczne rozwijalności funkcji w szereg Fouriera są sformułowane w następującym twierdzeniu Dirichieta:

Jeżeli funkcja f(x) ma w przedziale [—1, /] skończoną ilość punktów nieciągłości pierwszego rodzaju (lub jest ciągła) i ma w nim skończoną liczbę ekstremów (albo też nie ma ich wcale), to jej szereg Fouriera jest zbieżny, tzn. ma sumę S(x) w każdym punkcie tego przedziału. Przy tym:

a)    v. punktach ciągłości funkcji f(x) szereg jest zbieżny do samej funkcji: S(x) =f(x),

b)    i każdym punkcie x_k nieciągłości funkcji szereg jest zbieżny do średniej arytmetycznej obu granic jednostronnych

S(**) =4- [Hm f(x)+ lim /(¹)]

z x-¹x_k-Q

c)    na krańcach przedziału [—/, /] szereg jest zbieżny do średniej arytmetycznej jednostronnych granic funkcji, przy x zmierzającym do tych punktów od wewnątrz przedziału

5(-0 = S(0-4- t^lim /(¹)+ lim /(¹)]

Dla funkcji parzystej (f(x) = f(—x)) wszystkie współczynniki b_n są równe zeru¹) i odpowiadający takiej funkcji szereg Fouriera nie zawiera sinusów

ia funkcji nieparzystej (f(x) = —f(—xj) równe zeru są wszystkie współczynniki a„ i odpowiadający takiej funkcji szereg Fouriera zawiera wyłącznie sinusy

455

1

Patrz rozwiązanie zad. 599.

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
118 2 234 XI. Szeregi potęgowe Zadanie 11.4. Znaleźć promień zbieżności szeregu potęgowego “ n"
str031 (5) § 4. SZEREGI POTĘGOWE O WYRAZACH ZESPOLONYCH — WZORY EULERA 31 Zadanie 4.3. Znaleźć część
76644 str029 (5) 5 4. SZEREGI POTĘGOWE O WYRAZACH ZESPOLONYCH — WZORY EULERA 29 Stąd natychmiast 1(2
str027 (5) § 4. SZEREGI POTĘGOWE O WYRAZACH ZESPOLONYCH — WZORY EULERA 27 v = 1 /zlinię C, leżącą w
str033 (5) § 4. SZEREGI POTĘGOWE O WYRAZACH ZESPOLONYCH — WZORY EULERA 33 nej (5). Mamy kolejno <
str035 (5) > 35 §4. SZEREGI POTĘGOWE O WYRAZACH ZESPOLONYCH WZORY EULERA 4.    Wsk
70877 str034 (5) 34 I. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ Zadania do rozwiązania 1. Znaleźć
71608 str011 (5) § 1. CIĄGI I SZEREGI LICZBOWE O WYRAZACH ZESPOLONYCH 11 § 1. CIĄGI I SZEREGI LICZBO
1.    Wyznaczyć zbiór zbieżności szeregu potęgowego Y ——— 2.
31882 str009 (5) § i. CIĄGI I SZEREGI LICZBOWE O WYRAZACH ZESPOLONYCH 9 § i. CIĄGI I SZEREGI LICZBOW
E 71= 1 (x - 2)" 3n Mamy: 1 I" = 2- Liczymy promień zbieżności szeregu: R = lim

więcej podobnych podstron