29083 str312

312 5. ZARYS RACHUNKU TENSOROWEGO

Zadania do rozwiązania

1. Przedstawić za pomocą tensorów kartezjańskich następujące relacje:

a) rot(ę)F) = <p rot F — Fx grad (p,

b) rot (AxB) = E div A — Adiv B +(Ap) B — (Bp) A,

c) di v(AB) = Xdiv5+.Bdiv._l? + ,4 x rotfi + P x roM,

d) rot (grad <p) — 0.

a następnie wykazać słuszność powyższych nierówności posługując się językiem tensorów kartezjańskich.

2. Uprościć następujące wyrażenie:

^Enmk^Enrs "ł" ^Enms^Enkr »

gdzie fi_klm jest symbolem permutacyj nym.

3. Dane jest równanie równowagi cienkiej płyty (znane z teorii sprężystości) w języku tensorów kartezjańskich dla przestrzeni dwuwymiarowej

ti 1 —^ tt _n 1 — o²

_nk T ^Ekln^Enrs^ s,rl ZC~, ,

2 Eh

gdzie U_k jest wektorem przemieszczenia, P_k — wektorem objętościowej siły zewnętrznej odniesionej do jednostki pola płyty, a — współczynnikiem Poissona, E — modułem Younga, h — grubością płyty, e_klm — symbolem permutacyjnym.

Równanie powyższe opisuje szczególny przypadek deformacji płyt cienkich, zwanych deformacjami podłużnymi, zachodzącymi w płaszczyźnie płyty, którym nie towarzyszy zginanie.

Rozpisać dane równanie w tradycyjnym języku analizy matematycznej przyjmując *1 = x i x₂ = y.

Odpowiedzi

1- a) £„„(</> F,)_>r = ^<P^EnrsK,r~^EnrsK⁽P,si

b) ^Enrs(^Eskl^k^l),r — B_nA_rr— A_nB_{r r} + A_rB_nr — B_rA_nr,

^c) (^n^n),k — A_kB„„ + B_kA_nn 4- c_km„e_nrs(A„,B_Str + B_nA_sf),

d) ^Ekmn<Pn,m = 0.

r i o²u_x 1

FJ, *_L

d²u_x i e²u;1

fi.

— o¹ dx² ' 2(1 +<r)

1 d²U. 1 , ^y 1

dy² 2(1 —o) 3x3yj d²U_y 1 d²U_xl

^Etlll

-o² dy² 2(l + a)

dx² 2(1 —o) dxdy\

+ P_X = 0, + P,= 0.

29083 str312

29083 str312

b) Enrs(Eskl^k^l),r — BnArr— AnBr r + ArBnr — BrAnr,

b) ^Enrs(^Eskl^k^l),r — B_nA_rr— A_nB_{r r} + A_rB_nr — B_rA_nr,