Obliczamy

Zadania

15.22.

15.28.

J" (In x)² dx=x (In x)² - j* x ■

Wówczas mamy

Ostatecznie otrzymujemy

2    5'

5x    6x -i- 3---1—^ ] dx.

15.24. j (x²-x + l)(x²+x + l)dx. x dx

,M6. J j

+ x‘ x² dx

—-3 ,    0.

a³ +x³

302    XV. Całki nieoznaczone — Metody podstawowe

Zadanie 15.20. Obliczyć całkę J (In x)² dx.

Rozwiązanie. Zakładamy, że x>0. Całkujemy przez części przyjmując

u = (ln x)², du=dx, skąd du = 2 In x ■ — dx, u= f dx = x <

x

Na podstawie zadania 15.18 mamy w dalszym ciągu

J (ln x)² dx = x(ln xf -2x (ln x-l) + C = x((ln x)² -2 In x +2) +C . Zadanie 15.21. Obliczyć całkę J arctg jt dx.

Rozwiązanie. Całkujemy przez części przyjmując

u = arctgx, du=dx, skąd du=—?-, u=f dx=x

x² + l ¹

arctg x dx=x arctg x

[* xdx

J *² + l '

Ostatnią całkę obliczamy podstawiając x² + l=t, skąd xdx = ±dt (por. zad. 15.8). Zauważmy, że c>0. Mamy

x dx C kdt

x^x + l

J arctg x dx-x arctg x-j ln (x² + l)+C

Obliczyć całki (zad. 15.22 - 15.83):

i

(x²-l)³

15.25. J (x²+4f xdx. x dx

15.27.

15.29.

■J

(x² +3)⁶ ‘ xljx+1/x

Zadania

303

C yjx~xtjx

15.30. J s,-

f VI-2^+4Vs?

^is-³²- J wr

15.34. J V3x + 1 dx.

f xdx ,5.36. j

dx.

dx.

15.31. J (3 + 2 y*)³ dx. ’ 3+5Vx²

V

15.33.

dx.

V2x²-l ‘

“•“•l

“"•I 7^1

r e^,/x

15.42.    -^r^dx-

^aM-j

15.35. jja+bxdx. 15.37. jx-Jl+x²dx. x-l

15.39.

15.41.

Vx + 1

x² dx

dx.

V?+i

15.43. $xe~^x%dx.

2 cos² 3x'

15.46. J sin⁵ x cos x dx. f sin x

15.48.    -r-^dx> ^b*°-

] a+b cos x

x³ dx

15.45. J" x sin (2x² + 1) dx.

15.

15.54.

(x³ + l)

dx

e*+e~^x *

15.56. f xln(l+x²)dx.

15.58. J 6'~^x dx.

f ln larctg x\ dx

^,5-⁶⁰- J 1+I²

15.61. j xe^x\x² + l)dx.