47137 MATEMATYKA188

366 vn Macierze. Wyznaczniki. Układy równań liniowych

(24)

^all^xl

^a2l^xl

+ a„x₂ +

+ a₂₂x₂ + + ^am2^x2 ⁺

C|,

C2.

^aml^xl

.. + a_lnx„ =

•• + ^a2n^xn -•• + ^amn^xn

^cm •

Przyjmijmy oznaczenia

A-	^all •••	^aln	. B	’^all	... 8\|_n C,	. x=	V	. c-	V
	^aml •••	^amn		^aml	"• ^amn ^cm		^xn		^cm

Przy powyższych oznaczeniach układ (2.4) może być zapisany w postaci macierzowej

AX = C,

analogicznie jak w przypadku układu (2.1). Jest jednak istotna różnica -obecnie macierz A nie musi być macierzą kwadratową, a więc nic można tego równania macierzowego rozwiązać tak, jak to było w przypadku układu n równań o n niewiadomych.

Problem istnienia rozwiązań układu (2.4) i liczby tych rozwiązań rozstrzyga następujące twierdzenie:

TWIERDZENIE 2.2 (Kroneckera - Capelliego). Układ równań liniowych (2.4) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rzędy macierzy A i B są równe, czyli

R(A)= R(B)= r,

przy tym

1) jeżeli r = n , to układ ma jedno rozwiązanie,

2) jeżeli r<n, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań i są one zależne od n - r parametrów.

Z twierdzenia tego wynika natychmiast, źc

Jeżeli R(A)*R(B), to układ nie ma rozwiązań (jest sprzeczny).

Jeżeli w układzie (2.4) C| ■ c₂ =...=c_m - 0, to układ len ma postać

^ali^x! +... +a_lnx_n -0,

(2.5)

^aml^xl + ••• +a_mnx_n =0

i nazywa się układem jednorodnym.

Ponieważ dla każdego układu jednorodnego R(A) = R(B), więc układ jednorodny nie może być sprzeczny. Jest to zresztą oczywiste, gdyż każdy układ jednorodny ma rozwiązanie zerowe; x, =...= x_n * 0 i jest ono jedynym rozwiązaniem tego układu, gdy R(A) = R(B)« r=n. Natomiast, gdy R(A)=R(B)»r<n układ jednorodny ma, poza rozwiązaniem zerowym, nieskończenie wiele rozwiązań niezerowych

Rozważając wcześniej układ jednorodny n równań o n niewiadomych, wysnuliśmy następujący wniosek z twierdzenia Cramera; jeżeli układ taki ma rozwiązanie niezerowe, to jego wyznacznik główny jest równy zeru. Z twierdzenia Kroncckera - Capcllicgo wynika, że; jeżeli wyznacznik główny układu jednorodnego jest równy zeru, to układ ten ma nieskończenie wiele rozwiązań Zatem

TWIERDZENIE 2.3 Układ jednorodny (2.3) n równań o n niewiadomych ma rozwiązania niezerowe wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik główny tego układu jest równy zeru.

Na koniec podkreślimy, żc układ równań liniowych (2.4) (w szczególności (2.1)) może mieć jedno rozwiązanie lub nieskończenie wiele rozwiązań albo też może nie mieć żadnego rozwiązania. Innych możliwości nie ma.

Sposób znajdowania rozwiązań, gdy one istnieją, pokażemy na przykładach.

PRZYKŁAD 2.3 Rozwiążemy następujące układy równań

2x + 4z =	l		x - y + 2u	» 0,
y - u =	0.	b)	2x + y + 3z + u + 3v	- 3.
x-y + 2z+u =	0;		X + Z 4- U + V	- \|
2x + y * 1,			2x - y -f z * 0,
x + y = 1,		d)	y - 2z ■ 0,
x-2y « -2,		d)	x + z -O.
2x-y - -ł;			x + y - z «0.

a) Jest to układ 3 równań o 4 niewiadomych. Obliczamy rzędy macierzy A i B .

R(A)

^R[

2	0	4	0		2	0
0	1	0	-1	= R	0	1
i	-1	2	1		1	-1

2,