48650 skanuj0006 (372)

Rozdział 4- Ciągi i szeregi

Ą.2. Szeregi liczbowe

2 N

Uwaga 4.37. Bezpośrednio z definicji zbieżności szeregu wynika, że jeśli ma-

my daną dowolną liczbę naturalną k, to szereg Y2 a_n jest zbieżny wtedy i tylko

n= 1 00

wtedy, gdy szereg Y2 a_n jest zbieżny. Wynika to z prostej obserwacji, że ciąg

n=k

N k—1 N N

^an = Y2 ^an + E ^an jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg Y2 a_n jest

n=1 n= 1 n=/c n=k

zbieżny.

Zastanówmy się, jaki warunek musi spełniać ciąg (a_n)^L_l5 aby „była szansa”

na zbieżność szeregu Y2 a_n.

n=1

Twierdzenie 4.38 (warunek konieczny zbieżności szeregu). Niech dany

będzie ciąg (a_n)^₌₁, a_n G M. Jeśli szereg ^an i^est zbieżny, to ciąg a_n jest

n—1

zbieżny do 0 (a_n —> 0).

Dowód. Zauważmy, że — sn — sat-i- Jeśli Y2 a_n jest zbieżny, to sjv —* s,

n=l

zatem a/v = sn — sa/-i —> s — s = 0. □

Przykład 4.39. Szereg jest rozbieżny, ponieważ —► y = 1.

n=l

Przykład 4.40. Szereg Y2 -, zwany szeregiem harmonicznym, jest rozbieżny.

n=l

Spełnia on warunek konieczny, gdyż ^ > 0. Jeśli szereg ten byłby zbieżny, tzn.

a_n = s_N -> s, wtedy:

n=l

_1__1— ... —i L_ >

N+2 ^ ^ 2N ^

n= 1

Sfsj "b 2/v ~b ' ' ' ~b 2/V ^./V “b -N ‘ 2/v J^- 2’

zatem S2N > s/v + 5. Obliczając granicę przy iV —► 00, otrzymamy s > s + czyli 0 > 5, co prowadzi do sprzeczności.

Przykład 4.41. Rozważmy szereg Szereg ten jest zbieżny, gdy a > 1,

n=l

a rozbieżny, gdy a ^ 1. Przypadek a = 1 był pokazany w przykładzie 4.40. Pozostałe przypadki zostaną udowodnione w przykładzie 8.33.

Następne twierdzer konsekwencją twierdze:

Twierdzenie 4.42. N

(1) Jeśli szeregi Y J

n—1

oraz J](a_n + 6_n

71=1

(2) Jeżeli szereg Jj,

n=1

oraz ca_n = c

71=1

Kolejne twierdzeń jeśli się je porówna z :

Twierdzenie 4.43 (1

ne są ciągi (a_n)£L_1; (

(1) Jeśli 0 ^ a_n ^ b

t: ^a7i-

71=1

(2) Jeśli 0 ^ a_n ^

szereg X) 6_n.

71=1

Dowód. W przypad

Ciąg t]y jest rosnący Stosując twierdzenie otrzymujemy 0 ^ s a_n ^ 0 dla n G N, w

dzenia 4.23 - ciąg 6 W przypadku dowo<

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
skanuj0010 (291) 72 Rozdział Ą. Ciągi i szeregi Twierdzenie 4.52. (kryterium d’Alemberta5 zbieżności
skanuj0020 (160) 82 Rozdział Ciągi i szeregi 4.103. an 4.106. an 4.107.
skanuj0004 (414) 66 Rozdział J. Ciągi i szeregi zatem 8n —> O, czyli ś/a — 1 + ón —» 1. Jeśli O &
14175 skanuj0018 (182) 80 Rozdział 4- Ciągi i szeregi 4.12. an = 4n — /l6n2 + 6n — 5. 14.13. an = V4
77818 skanuj0012 (261) 74 Rozdział 4- Ciągi i szeregi 4.3. Ciągi funkcyjne zatem me jest spemony w a
59042 skanuj0016 (202) 78 Rozdział 4- Ciągi i szeregi 4.4. Szeregi funkcyjne 00 Twierdzenie 4.71. Ni
skanuj0002 (444) 64 Rozdział J. Ciągi i szeregi Naturalne jest pytanie o zachowanie się granic wzglę

więcej podobnych podstron