60331 str306

306 5. ZARYS RACHUNKU TENSOROWEGO

i kowariantnych. Symbol 5_m„ określony relacją (6.3) jest deltą Kroneckera w dziedzinie tensorów kartezjańskich. Tensor metryczny przestrzeni rozpatrywanych w tym rozdziale wynosi

(6-6) a_mn = S_mn.

Własność 6. W dziedzinie tensorów kartezjańskich wszystkie symbole Christoffela znikają (składowe ich są zerami).

Własność 7. Pochodne zwyczajne, jak również cząstkowe tensorów kartezjańskich są tensorami kartezjańskimi.

Własność 8. Pochodna absolutna tensora kartezjańskiego jest równa pochodnej zwyczajnej

,, &T_mnk dT_mnk

⁽⁶‘⁷⁾ ~Su~ ⁼ ~du~ ’

którą najczęściej będziemy oznaczali w następujący sposób:

dT_mnk

(6.8)

= T.

mnk •

Własność 9. Pochodna kowariantna tensora kartezjańskiego jest równa pochodnej cząstkowej

Tmnk/s ~ '

(6-9)

dT_mnk

dx*

którą będziemy oznaczali w następujący sposób:

dT_mnk

(6.10)

__ t

dx^s —,r

Definicja 3. Symbolem permutacyjnym w przestrzeni ^-wymiarowej nazywamy wielkość W-wskaźnikową

(6.11)

która nie znika jedynie wtedy, gdy wszystkie jej wskaźniki są różne. Wówczas przyjmuje ona wartość +1 lub — 1 w zależności od tego, czy liczba transpozycji potrzebnych do przeprowadzenia ciągu m_t, m₂,..., m_N w ciąg 1,2, 3,..., N jest parzysty, czy też nieparzysta. Oto przykłady symbolu permutacyjnego w przestrzeni dwu- i trójwymiarowej:

N = 2, = 0, e₁₂ = 1, e₂i ^{= —} 1» ^e2i ~ 0»

N = 3 , C_l23 = £231 = £312 = 1 > ^e321 = ^£213 ^{= e}132 ⁼ ~ 1 oraz wszystkie pozostałe składowe £„„* są zerami.

Własność 10. Symbole permutacyjne są tensorami kartezjańskimi antysymetrycznymi względem każdej pary wskaźników.