>

x^rx-|x/ x,^r .... X/]

x,^r

X,'

X^T

-Zx/X.

dla r - I...R

waz założenie, że    dr,, gdzie dz, są realizacjami niezależnych zmiennych losowych o

zerowej średniej i odchyleniu standardowym a, = CL216.

Rozwiązanie:

Wyznaczamy odwrotność macierzy równania normalnego oraz uckior jego prawych stron dla danych dokładnych:

2 l"

i 2

\ o n O 2 -J 0-12

(x'x)-.(i«/x.)^H-l(x/x.)^H =

korzystając z odwrotności macierzy X,^rX_r:

(x/x.r^o j -

CXłwrotnosć macierzy równam* normalnego wykorzystujemy do wyznaczenia maaerry kowariancji otymafy wektora parametrów p = | p_Q p,    ^f •

Co>{p)-(x'x)"*<r,^>

która na przekątnej zawiera wariancje:

Podstawiając R -*■ 7 i a* «63-10 ^ł» obliczamy dyspersje estymad parametrów modchi standaryzowanego:

■^^Va(t_l)"^^VtI(t^\ = 'j6\0'* = >/ó-IO ¹

a aa kh podstawie dyspersje parametrów c^. i a_r :

i/^®fe)^x:'^^^^^s9-*-^,0'^,orai    =    =    10"’    *

Egyna^ parametrów p, i nastqxjjącego modelu zależności surowego wyniku pomiaru z od mczurandu i, i wielkości wpływającej *₃:

z=(pt*i+P2*iy

wyznaczono metodą najmniejszych kwadratów, dokonując następującej transfocmagi danych pwmiarowych rcprczntfnjących surowy wynik pomiaru:

y_m »___.A'

Oszacować błąd systematyczny (obciążenie) tych esrymat. spowodowany odstępstwem od założeń klasycznej metody najmniejszych kwadratów. Do obliczeń przyjąć:

&

&

(^x'^x)"4[-i 2]

> X^ry-

1 0 1 0 1 I

[1]

o rón

i-i -m

a m tej podstawie - dokładne parametry spełniające to równanie normalne:

9

p-(x^rx)X^ry

2 -l 1 2

Błąd danych po transformacji wyznaczamy przy użydu następującego szeregu Taylora.-

*• -1’. ♦ *.y - </(• ♦^) * Ą 7(7") -fe)

Przybliżenie tego błędu, wystarczające do och wycenia obciążenia cstymal. ma postać:

Obliczamy jego wartość oczekiwana:

-216-10"* dU *

_K---—*7*1    -*10 ‘ dla n *2

^X" ^Ym 1 -27-10"⁴ (Ha n-3

a na tg podstawie obciążenie csłymal parametrów: •dp

p-(x³x)'^JX'E(_±]-i[_^:i ->[J ? l{"²|.10--

5-i "i    *

pomocą rysiemu pomiarowego służącego do pomiaru chwilowej częstotliwości sieci energetycznej dokonano próbkowania napięcia tej sieci v(r) z interwałem At. Uzyskano następujące wyniki:

^<£h <~^<£V-| <“*

obarczone błędami losowymi o zerowej wartości oczekiwanej. Zakładając, że adekwatny model matematyczny napięcia sieci ma postać: i^/)-t/_wsi^Ł9ł + p)

zastosować metodę najmniejszych kwadratów do estymacji częstotliwości f rui podstawie dartych pomiarowych {«„}.

Rozwiązanie:

Model danych pomiarowych {u, } ma postać: u_m *«. +At_u dla »»1._,N

gdzie błąd Au_m jest realizacją zmiennej losowej o zerowej wartości oczekiwanej, natomiast model danych dokładnych wyraża się wzorami:

■•**<0* Vy ń&tf. ♦ 9)

^rm^Bt9 +(ł!-l)dr

dla n ■ 1,_,H . W modelu tym nieznane są trzy parametry: f, /₀, <p. W edu ich wyznaczenia

przekształcamy ten model następująco:

***{/-²*tⁿ ~ U*/ ♦    ♦ ?)] * «b[a*. ♦ a]

gdzie x_m -Łr(/t-l)A, p, = / oraz pg = 2ąy?₀ + f>. Moootcmczność ciągu danych pierwotnych |i7, j umożliwia zastosowanie funkcji odwrotnej do lineaiyzacji modelu danych dokładnych:

y, - arcsin(-—) = p*x, ♦ p,

Estymaty p, i p, parametrów p, i p, wyznaczamy metodą najmniejszych kwadratów na podstawie par danych wtórnych:

(*m. X- *    ^ " = U-.*

i w ten sposób uzyskujemy estymatę częstotliwości: f=f\.    *

//