88274 str257

8 8. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH CZĄSTKOWYCH 257

Funkcje R_n{r) i T_n(l) dobieramy w ten sposób, ażeby funkcja 9„(r, t) spełniała równanie (1). Obliczamy zatem pochodne funkcji (4)

8 8. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH CZĄSTKOWYCH 257

KT_n,

3%

Sr²

= r:t„

df=^R-^T"

i podstawiamy je do równania (1) otrzymując stąd następujący związek:

R'_n'T„+-KT_H = r

który wobec założenia !)„(r, /) ^ 0 możemy zapisać w postaci

r;; ₊_i k ₌ _i_. r

Rn ^r Rn K Tn

Jeżeli R_n{r) i T_n(z) są rozwiązaniami równań

(5)

K_₊]_.K

Rn r R_n

Ti

T_n

= —

n >

to funkcje 9„(r, t) spełniają równanie (1). Równania (5) po uporządkowaniu zapisujemy w następującej postaci:

(6)

R'_n' + -R'_n + X²nR_n = 0.

r:+y.x²nT„ = o

Całkami ogólnymi równań (6) są fupkcje

R»(r) = A_nJ₀(X_nr) + B_nY₀(X_nr),

T„(t)= C_nexp(-xX²t),

gdzie J₀(x) jest funkcją Bessela rodzaju pierwszego rzędu zerowego, Y₀(x) — funkcją Bessela rodzaju drugiego (funkcja Naumanna) rzędu zerowego.

Funkcja $(r,t) jest ograniczona w całym obszarze 0<r<a, zatem stałe B_m muszą być zerami, ponieważ funkcja F₀(.*) jest nieograniczona w punkcie x = 0. Z warunku (3) otrzymujemy

R„(n) = Ą,J₀(A_na) = 0, X_n=-,

gdzie y„ są dodatnimi kolejnymi pierwiastkami równania

(7) J o(y) = 0 •

Obecnie funkcję ,9(r, t) możemy zapisać w następującej postaci;

(8) 9(r, t) = ^ ^Dn,/o(^^r)^eXP(”*“T*)>

/»=* 1

17 —Wybrane działy matematyki...

88274 str257

88274 str257

KTn,

3%

(5)

K_+]_.K

Ti

r:+y.x2nT„ = o

KT_n,

K_₊]_.K

r:+y.x²nT„ = o