s48 49
X
48
41. (x - 4)4 + ll(x - 4)3 + 37(x - 4)2 + 21(x - 4) - 56
42. (x + 2)3 - 9(x + 2)2 + 25(x + 2) - 24
4 8
43. 7y — 1 2x4- 2\x 3!,T ^ ł" (n-l)!
X
4-
ni
n\
44. y = x - X2 + ±X3 - ^x4 + • • - + £4§xn 1 + e
X
45. f (x) = 1 - x2 +
(16c4~48c'i + 12)e~c” 4
4!
46. /(x) = x - ^x3 4- ^xq:cTpX4, arctgO, 3 = 0,291 ± 0,003
47. cos 9° **0,9877 49. fó = 1,3956
48. sin 18° = 0,3090 50. e"* = 0,9048
1.2.8. Monotoniczność, ekstrema i punkty przegięcia funkcji
1. Zbadać monotoniczność funkcji y — arctgx — 2 ln(l + x2).
Rozwiązanie
Dziedziną tej funkcji jest zbiór IR. Obliczmy
V =
4x
1 + x2 1 4- x
1 — 4x
1 4- x2
Badamy znak pochodnej:
oraz
y < 0 dla x > i.
Wynika z tego, że funkcja y jest rosnąca dla x < 4, oraz malejąca dla x >
Wyznaczyć ekstrema funkcji
X
2. y —
x + 1
3. y — -xó — arctg2x
O
2. Dziedziną funkcji jest zbiór D = (—00, -1)U( — l,oo). Obliczmy pochodną
y
ex(x -f 1) — ex
xe
X
2
(x -I- l)2
, x € D.
Widzimy, że y' = 0 jedynie dla x = 0, a więc funkcja y może osiągać ekstremum jedynie dla x = 0.
Skorzystamy z warunku wystarczającego istnienia ekstremum: Jeżeli y'(x0) = 0, oraz
(i) y'(x) < 0 dla x G (xo — ó,x0) i y'(x) > 0 dla x G (x*0,x0 + S) lub
(ii) y'(x*) > 0 dla x G (xo — 6, £0) i 2/(z) < 0 dla x G (.To, x*0 + J), to funkcja y ma ekstremum.
W przypadku (i) funkcja y ma minimum w punkcie Xo, natomiast w przypadku (ii) ma ona maksimum w punkcie xq.
Zbadajmy znaki pochodnej. Łatwo zauważyć, że
y'(x) > 0 dla x > 0, oraz y\x) < 0 dla x G (—00,0) \ { — 1}-
*
Z warunku dostatecznego istnienia ekstremum wynika, że funkcja y ma minimum w punkcie x — 0, oraz ymi„(0) = 1.
J. Dziedziną funkcji jest zbiór D — \R. Obliczmy pochodną
y
1 + 4x2
= 4x-
x G D.
Szukamy miejsc zerowych pochodnej, rozwiązując równanie
Sx4 + 2x~ — 1 = 0.
Iherwiastkami tego równania są wartości: x\ = — X2 =
Należy teraz zbadać warunek dostateczny istnienia ekstremum. Można oczywiście skorzystać z warunku dostatecznego podanego w rozwiązaniu zadania 2. My skorzystamy z drugiego warunku dostatecznego istnienia ekstremum:
Jeżeli funkcja y ma w pewnym otoczeniu punktu Xq drugą pochodną, która jest ciągła w punkcie xq: a ponadto
y'(xo) = 0 oraz y"(x0) / 0,
to funkcja 7/ ma w punkcie x*o
r.<l.v j/"(x0) > 0.
maksimum, gdy y”(xo) < 0, natomiast minimum,
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Bernardelli` Auto 20 Grip Screw 41 Buffer Spring 21 RightGrip 42 Magazine Safety Spring 1 Receiv
IMG49 Sumaryczny zapis zachodzących reakcji: 2Cu2" + 41"-*fe>+2CuI . -> 21" +
uzębieniem naturalnym a protezą [1, 5-9, 11-14, 17, 33, 37, 39, 40, 42, 43, 48, 49, 51,62-69, 71]. P
scn0019 .17 14 15 12 f‘u •16 10 •18 19 -12* 41® 4® *20wv 37 •21 Połącz Kolejno punkty
Wydział HumanistycznyKontakt ul. Świętokrzyska 21 D 25-406 Kielce tel.4841 34968 90 fax 48
metodykaK0 ogólne m 53-51 50-49 i 48-46 I_ 45-43 00 co 04 37-33 32-29
chinski (21) 48 TYDZIEŃ 5 ZWIEDZANIE 49 Rozgrzewka Zapytaj „Czy idziesz do muzeum?” (s. 42-43) Jak p
IMG31 35. 35. 37. 39. 40. © 42: 47. # 49. 51. Podczas wzrostu obciążenia rsm w mrag w skurczu
Wydział Humanistyczny 25 - 406 Kielce, ul. Świętokrzyska 2ID tel. +48 41 349 69 98 fax. +48 4^1 349
Wydział Matematyczno-Przyrodniczy 25 - 406 Kielce, ul. Świętokrzyska 15 tel. +48 41 349 62 30, fax +
15^l;i“ Th JNE ODPIS L.dz.K.2 123/41 Warszawa dbia 21 sierpnia 1941 otrzyjp, Londyn, dnia 23 sierpni
PkH 4bTA.!M£ i 5 ODPIS L*ó%9K.2 133/41 V*razaw* dtoia 21 sierpnia 1941 otrzym, Londyn, dni* 23 sier
więcej podobnych podstron