239 2

6.8. Równania algebraiczne

I j|%gg świtanie algebraiczne ma pierwiastki zespolone, to nie jest już prawdą, że metoda cuerre’a zbieżna dla dowolnych przybliżeń początkowych. Doświadczenie uczy że i w tym przypadku zbieżność globalna jest dobra.

^ Zauważmy, że w przypadku współczynników rzeczywistych, wartości p(z,j, p'(z_t),... & rzeczywiste dla rzeczywistego z*. Oznacza to, że metoda Newtona i metoda siecznych ^nie    b>'ć zbieżne do pierwiastka zespolonego, gdy przybliżenie

początkowe jest rzeczywiste. Natomiast w metodzie Laguerrc*a r_k+ł może być zespolone nawet wtedy, gdy z_k jest rzeczywiste; wystarczy, żeby było H(z_k)< 0. Tak więc ta metoda może zacząć przeszukiwać płaszczyznę zespoloną „sama z siebie".

Przykład 6.8.1. Niech bedzie p(z)-=a₀2? + a_lzⁿ~^l +...+a„. Załóżmy, że a„^0 (co oie ogranicza ogólności, bo możemy zawsze odrzucić pierwiastek pojedynczy lub wielokrotny a--0). Przypuśćmy teraz, że co najmniej jeden ze współczynników a_H__l i <i„_₂ jest różny od zera i przyjmijmy w metodzie Lugucrrc’?., że r_o=0. Proste obliczenia prowadzą do wzoru

Z_x*=--*****-, gdzie H(r₀)«(łi-l)²tfJ_,-2iiln-I)tf_4ła_<l-₂.

H(z₀)

W szczególności, jeśli n=2, to M(z_c) jest wyróżnikiem wielomianu p(z), a z, jest jego pierwiastkiem o mniejszym module (jeśli znak w mianowniku wybiera się tak, jak wspomniano wcześniej). Jeśli wśród pierwiastków są liczby zespolone, to najmniejszy moduł mogą mieć dwa pierwiastki zespolone sprzężone i metoda wybiera któryś z nich. Na przykład równanie

p(z)=z³—2z² + z—2 = 0

ma pierwiastki +j i 2. Powyższy wzór na z, (dla n=3) daje wartość

3-2    2 A ,—

^zi^=a-v 11 i.

L±2V 11 < 15 15

Zauważmy, że także w tym przepadku mamy zbieżność do jednego z dwóch pierwiastków o mniejszym module, tj. do ±/.

6.8.2. Dehacja

Obliczanie wartości p(z) zgodnie z wzorem (6.8.2) opiera się na związku

. .    p(z)=(z-z_Jt)^₁(z)+6.,    ó_B = p(z_fc),

gdzie

gM^boZ*'¹ + 6_t z""²i-... +fc_B__l.

żc znaleźliśmy pierwiastek z*=a równania/?(z)=0. Wtedy b_m=0 i pozostałe pier-- tego równania są zarazem pierwiastkami równania ^(z)—0. Aby je obliczyć ^2citty zastąpić wielomian p(z) ilorazem g _z (z). Nazywa się to deflacją. Ten proces można

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
STRONA 2 SŁOWO Z KRAJU NUMER 112 Nie ma przeszkód w integracji Polska nie jest już tylko goście
40 (139) WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 4. Wyrażenie 18x3yz - 30x2yz + 6x2y nie jest równe wyrażeniu: A. 3xy
IMG?26 W czasie burzy samochód jest bezpiecznym miejscem bo: Odpowiedź: C a. ma gumowe opony C b. sa
page0132 1*22 się w nim grzechu. Jeśli nie ma wolności, to nie potrzeba już usprawijdliwienia; niszc
z załatwianiem spraw należących do jego zakresu działania bo np. .. .nie ma takich dokumentów), to n
102 PAWEŁ PLANETA także u nas sympatyczne, niemieckie trio ma sporą rzeszę fanów; nie można już w og
Subwencja ogólna -    ma charakter obligatoryjny, to znaczy jest roszczeniowa -
Istotę przedmiotu tworzy znaczenie, jakie ma on dla osoby dla której jest przedmiotem. Znaczenie to
RECENZJE504 z peanami Grabowskiego ma chyba niebagatelne znaczenie. Nie wspomnimy już o uwydatnionyc
Obraz (9)(2) państwem potrafi niejeden i bez przygotowania, jeżeii ma do tego ochotę, nie jest tępy
DSC70 181 Innowacje i postęp techniczny Jak widać, każdy z zaprezentowanych modeli ma szereg zalet,
124 ROZDZIAŁ 17. WSKAŹNIKI określone miejsce w pamięci. A ponieważ funkcja ma swój adres®, to nie ma
S6300641 do niej katachreza ma strukturę semantyczną prostą, nie jest predykatem metaforycznym, bezp
z25 (8) Ile kropek ma biedronka? e Którzy sądzą, że wystarczy policzyć kropki, by się tego dowiedzie

więcej podobnych podstron